Aula 03 Exatas Fator Integrante Linear

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Aula 3: Exatas
Equações Diferenciais Exatas
DEFINIÇÃO. Uma expressão diferencial
M(x,y) dx + N(x,y) dy
é uma diferencial exata em uma região R do 
plano xy se ela corresponde à diferencial total de 
alguma função f(x,y). Uma equação diferencial 
da forma 
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 é 
chamada de uma equação exata se a expressão 
do lado esquerdo é uma diferencial exata.
Teorema. Critério para uma Diferencial Exata.
Sejam M(x,y) e N(x,y) funções contínuas com
derivadas parciais contínuas em uma região
retangular R definida por a<x<b , c<y<d.
Então, uma condição necessária e suficiente
para que M(x,y) dx + N(x,y) dy seja
uma diferencial exata é
x
N
y
M


=


Método de Resolução
dyN
Mdx










−=


=
=+
y
P
 y)Q(x, )3º
y
P
 )2º
 y)P(x, )1º
 onde ,k y)Q(x, y)P(x,
Exemplo1 . Resolva 2xy dx + (x2+1) dy =0
 A EDO é 
Exata.
x
x
N
x
y
M
2 e 2 =


=


( ) ( )
kyyx
segue
ydydyx
dyN
x
yxxydxMdx
=+
=+
==−+=
=







−=
=


===



2
22
2
2
 
k y)Q(x, y)P(x, que 
1 1 x y)Q(x, 
 
y
P
 y)Q(x, )3º
y
P
 )2º
 2 y)P(x, )1º
Logo , temos que:
Exemplo2 . Resolva (2x+y)dx + (x-2y)dy =0
 é Exata. 
1 e 1 =


=


x
N
y
M
( )
( )
kyxyx
segue
y
y
dyy
dyxydyN
x
xyxdxyxMdx
=−+
=+
−=−=−=
=−−=







−=
=


+=+==



22
2
2
2
 
k y)Q(x, y)P(x, que 
2
22 
)2(x 
y
P
 y)Q(x, )3º
y
P
 )2º
 )2( y)P(x, )1º
Logo, temos que:
Exemplo3 . Resolva (x2 -y2)dx – 2xydy =0
 é Exata. 
y
x
N
y
y
M
2
e
 2
−=


−=


( )
( )
kxy
x
segue
kdy
dyxyxy
dyN
xy
xy
x
dxyxMdx
=−
=+
==
−−−=
=







−=
−=


−=−==




2
3
2
3
22
3
 
k y)Q(x, y)P(x, que 
0 
)2()2( 
y
P
 y)Q(x, )3º
2
y
P
 )2º
3
)( y)P(x, )1º
Logo , temos que:
Exemplo4 
Resolva (x3 + y2) dx +(2xy + cos y)dy =0
 é Exata. Logo, temos que
y
x
N
y
y
M
2 e 2 =


=


( )
ksenyxy
x
segue
senydyy
dyxyyxydyN
xy
xy
x
dxyxMdx
=++
=+
==
=−+=







−=
=


+=+==



2
4
2
4
23
4
 
k y)Q(x, y)P(x, que 
cos 
2)cos2( 
y
P
 y)Q(x, )3º
2
y
P
 )2º
4
)( y)P(x, )1º
Fator Integrante
• Mdx +Ndy = 0 (não exata)
• I → função tal que 
• IM dx + IN dy = 0
x
IN
y
IM


=

 )()(








−


==








−


==
y
M
x
N
M
yBeI
ou
x
N
y
M
N
xBeI
dyyB
dxxB
1
)(,
1
)(,
)(
)(
Exemplo
Resolver a equação 2xy dy + (x2 – y2) dx = 0 , fazendo 
o uso do fator integrante.
, que Sendo .integrantefator o Usaremosexata. não
22N
2 x M 22

=


→=
−=


→−=
y
x
N
xy
y
y
M
y








−


==







−


==
y
M
x
N
M
yBeIou
x
N
y
M
N
xBeI
dyyBdxxB 1
)(, 
1
)(,
)()(
)(
4
)22(
1
)(
2222
não
yx
y
yy
yx
yB
−
=+
−
=
)(
2
2
4
)22(
2
1
)( utilizar
xxy
y
yy
xy
xB
−
=
−
=−−=
2lnln2
1
2
2
)( , −=−=−=
−
=   xxdxx
dx
x
dxxBentão
2lnB(x)dx 2eI , −===
−
xequesegue x
02)1(
02)(
0INdyIMdx temosentão
122
2222
=+−
=+−
=+
−−
−−
ydyxdxyx
xydyxdxyxx
. , 
2
)(
 e 2
)( 22
exataéequaçãonovaaquesegueiguaisparciaisderivadas
yx
x
IN
yx
y
IM

−=


−=

 −−
12
12
2
22
22
12
1
)1(
),(
),(),(
−
+−
−
−
+=
+−
−=
−=
−=
=
=+



xyx
x
yx
dxyxdx
dxyx
IMdxyxP
KyxQyxP Kxyx
KyxQyxPentão
Cdy
dyyxyx
dy
y
P
INyxQ
=+
=+
==
−=








−=
−
−−



12
11
),(),(,
0
)22(
),(
12 −=


yx
y
P
Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem
Será do tipo 
Onde P e Q são funções contínuas definidas num mesmo
intervalo I. 
Se Q = 0 em I, então diremos que a equação acima é
LINEAR HOMOGÊNEA DE 1ª. ORDEM .
Fórmula para soluções de uma equação diferencial
linear de 1ª. Ordem
QPy
dx
dy
=+ R. , emkkdxQey
PdxPdx
e 



+= 
−
Exemplo
Resolva a equação 
Qual a solução que satisfaz a condição inicial y(0)=5?
Solução:
1) ׬𝑃 𝑑𝑥 = ׬−3 𝑑𝑥 = −3𝑥
2) ׬−𝑃 𝑑𝑥 = ׬3 𝑑𝑥 = 3𝑥
3) 𝑒׬ 𝑃 𝑑𝑥 = 𝑒−3𝑥
4) 𝑒− ׬ 𝑃 𝑑𝑥 = 𝑒3𝑥
5) ׬𝑄. 𝑒׬ 𝑃 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = ׬4. 𝑒−3𝑥𝑑𝑥 = −
4
3
𝑒−3𝑥
𝑦 = 𝑒3𝑥 −
4
3
𝑒−3𝑥 + 𝐾
.43 += y
dx
dy
xey
k
k
k
ke
3
0.3
3
19
3
4
3
19
3
4
5
3
4
5
3
4
5
+−=
=
+=
+−=
+−=