Mostre que λ(t) = f(t) S(t) = − d dt (logS(t)).

Para mostrar que λ(t) = f(t) S(t) = - d/dt (logS(t)), podemos usar a definição de derivada. Vamos começar com a expressão - d/dt (logS(t)): -d/dt (logS(t)) = -1/S(t) * dS(t)/dt Agora, vamos substituir S(t) por f(t) S(t): -1/S(t) * dS(t)/dt = -1/(f(t) S(t)) * d(f(t) S(t))/dt Usando a regra do produto para derivadas, temos: -1/(f(t) S(t)) * d(f(t) S(t))/dt = -1/(f(t) S(t)) * (f'(t) S(t) + f(t) S'(t)) Simplificando a expressão, temos: -1/(f(t) S(t)) * (f'(t) S(t) + f(t) S'(t)) = -f'(t)/f(t) - S'(t)/S(t) Agora, vamos mostrar que λ(t) = f(t) S(t): λ(t) = f(t) S(t) Substituindo a expressão que encontramos anteriormente para - d/dt (logS(t)), temos: λ(t) = -f'(t)/f(t) - S'(t)/S(t) Portanto, mostramos que λ(t) = f(t) S(t) = - d/dt (logS(t)).