Exerćıcio 2. Considere o sistema linear de equações: x+ 2y − 3z = 43x− y + 5z = 2 4x+ y + (a2 − 14)z = a+ 2 encontre os valores de a para os ...

Para encontrar os valores de "a" nos quais o sistema não tem solução, tem solução única e tem infinitas soluções, podemos resolver o sistema linear de equações utilizando o método da eliminação de Gauss-Jordan. Vamos começar escrevendo o sistema na forma matricial: | 1 2 -3 | 43 | | 3 -1 5 | 2 | | 4 1 (a²-14) | a+2 | Agora, vamos aplicar o método da eliminação de Gauss-Jordan para transformar a matriz aumentada em uma forma escalonada reduzida. 1) Subtrair 3 vezes a primeira linha da segunda linha: | 1 2 -3 | 43 | | 0 -7 14 | -127 | | 4 1 (a²-14) | a+2 | 2) Subtrair 4 vezes a primeira linha da terceira linha: | 1 2 -3 | 43 | | 0 -7 14 | -127 | | 0 -7 (a²-2) | -170 | 3) Dividir a segunda linha por -7: | 1 2 -3 | 43 | | 0 1 -2 | 18.14 | | 0 -7 (a²-2) | -170 | 4) Subtrair 2 vezes a segunda linha da primeira linha: | 1 0 1 | 6.72 | | 0 1 -2 | 18.14 | | 0 -7 (a²-2) | -170 | 5) Subtrair -7 vezes a segunda linha da terceira linha: | 1 0 1 | 6.72 | | 0 1 -2 | 18.14 | | 0 0 (a²-2) - 7(-2) | -170 + 7(18.14) | Simplificando a terceira linha: | 1 0 1 | 6.72 | | 0 1 -2 | 18.14 | | 0 0 (a²-2) + 14 | 18.14 + 119.98 | Simplificando ainda mais: | 1 0 1 | 6.72 | | 0 1 -2 | 18.14 | | 0 0 a² + 12 | 138.12 | Agora, vamos analisar os casos: 1) Sistema não tem solução: Isso ocorre quando a última linha da matriz escalonada reduzida tem a forma [0 0 0 | b], onde b é diferente de zero. Nesse caso, para que o sistema não tenha solução, a² + 12 deve ser diferente de zero. Portanto, a ≠ ±√(-12). 2) Sistema tem solução única: Isso ocorre quando a última linha da matriz escalonada reduzida tem a forma [0 0 0 | 0]. Nesse caso, para que o sistema tenha solução única, a² + 12 deve ser igual a zero. Portanto, a = ±√(-12). 3) Sistema tem infinitas soluções: Isso ocorre quando a última linha da matriz escalonada reduzida tem a forma [0 0 0 | 0] e há pelo menos uma variável livre. Nesse caso, para que o sistema tenha infinitas soluções, a² + 12 deve ser igual a zero e a primeira e/ou segunda variável deve ser uma variável livre. Portanto, resumindo: - O sistema não tem solução quando a ≠ ±√(-12). - O sistema tem solução única quando a = ±√(-12). - O sistema tem infinitas soluções quando a = ±√(-12) e a primeira e/ou segunda variável é uma variável livre. Lembrando que a solução geral do sistema pode ser encontrada substituindo os valores de "a" na matriz escalonada reduzida e resolvendo o sistema resultante.