1. A figura mostra uma curva “astroide” (em forma de estrela) definida parametricamente por f(t) = (8 cos3 t, 8 sen3 t) com 0 ≤ t ≤ 2π. Determine u...

Para determinar uma equação cartesiana para a curva astroide definida parametricamente por f(t) = (8 cos^3 t, 8 sen^3 t), podemos eliminar o parâmetro t e expressar a curva em termos das coordenadas x e y. Usando a identidade trigonométrica cos^3 t = (1/4)(3 cos t + cos 3t) e sen^3 t = (1/4)(3 sen t - sen 3t), podemos reescrever a função f(t) como: f(t) = (8(1/4)(3 cos t + cos 3t), 8(1/4)(3 sen t - sen 3t)) = (6 cos t + 2 cos 3t, 2 sen 3t - 6 sen t) Agora, podemos reescrever a equação em termos de x e y: x = 6 cos t + 2 cos 3t y = 2 sen 3t - 6 sen t Para obter a equação cartesiana, podemos eliminar o parâmetro t. Podemos fazer isso elevando ao quadrado as duas equações e somando-as: x^2 = (6 cos t + 2 cos 3t)^2 y^2 = (2 sen 3t - 6 sen t)^2 x^2 + y^2 = (6 cos t + 2 cos 3t)^2 + (2 sen 3t - 6 sen t)^2 Simplificando essa equação, obtemos a equação cartesiana para a curva astroide.