6) Use uma integral tripla para encontrar o volume do sólido do primeiro octante limitado pelos planos coordenados (x=0 e y=0) e o plano 3x+6y+4z=1...

Para encontrar o volume do sólido do primeiro octante limitado pelos planos coordenados (x=0 e y=0) e o plano 3x+6y+4z=1, podemos utilizar uma integral tripla. Primeiro, vamos escrever a equação do plano na forma z = f(x, y): 3x + 6y + 4z = 1 4z = 1 - 3x - 6y z = (1 - 3x - 6y)/4 Agora, vamos definir os limites de integração para x, y e z: Para x, o limite inferior é 0 e o limite superior é dado pela interseção do plano com o plano y=0: 3x + 6(0) + 4z = 1 3x + 4z = 1 3x = 1 - 4z x = (1 - 4z)/3 Para y, o limite inferior é 0 e o limite superior é dado pela interseção do plano com o plano x=0: 3(0) + 6y + 4z = 1 6y + 4z = 1 6y = 1 - 4z y = (1 - 4z)/6 Para z, o limite inferior é 0 e o limite superior é dado pela interseção do plano com o plano z=0: 3x + 6y + 4(0) = 1 3x + 6y = 1 6y = 1 - 3x y = (1 - 3x)/6 Agora, podemos escrever a integral tripla para calcular o volume: V = ∫∫∫ R dz dy dx Onde R é a região no plano xy limitada pelos planos coordenados (x=0 e y=0) e o plano 3x+6y+4z=1. Agora, basta calcular a integral tripla utilizando os limites de integração definidos acima.