Sabendo que det \begin{equation} \begin{bmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3}\\ b_{1} & b_{2} & b_{3}\\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{bmatrix} \end{equation...

Para calcular o determinante da segunda matriz, podemos usar as propriedades do determinante. Podemos multiplicar a terceira linha por 2 e a terceira coluna por 1/2, sem alterar o valor do determinante. Assim, a segunda matriz se torna: \begin{equation} \begin{bmatrix} a_{1} & a_{2} & 4a_{3}-2a_2\\ b_{1} & b_{2} & 4b_{3}-2b_4\\ c_{1} & c_{2} & 2c_{3}-c_2 \end{bmatrix} \end{equation} Podemos expandir o determinante da segunda matriz usando a primeira coluna: \begin{equation} \begin{aligned} \text{det} \begin{bmatrix} a_{1} & a_{2} & 4a_{3}-2a_2\\ b_{1} & b_{2} & 4b_{3}-2b_4\\ c_{1} & c_{2} & 2c_{3}-c_2 \end{bmatrix} &= a_{1} \cdot \text{det} \begin{bmatrix} b_{2} & 4b_{3}-2b_4\\ c_{2} & 2c_{3}-c_2 \end{bmatrix} \\ &- a_{2} \cdot \text{det} \begin{bmatrix} b_{1} & 4b_{3}-2b_4\\ c_{1} & 2c_{3}-c_2 \end{bmatrix} \\ &+ (4a_{3}-2a_2) \cdot \text{det} \begin{bmatrix} b_{1} & b_{2}\\ c_{1} & c_{2} \end{bmatrix} \end{aligned} \end{equation} Sabemos que o determinante da primeira matriz é igual a 4, então podemos substituir esse valor na equação acima: \begin{equation} 4 = a_{1} \cdot \text{det} \begin{bmatrix} b_{2} & 4b_{3}-2b_4\\ c_{2} & 2c_{3}-c_2 \end{bmatrix} - a_{2} \cdot \text{det} \begin{bmatrix} b_{1} & 4b_{3}-2b_4\\ c_{1} & 2c_{3}-c_2 \end{bmatrix} + (4a_{3}-2a_2) \cdot \text{det} \begin{bmatrix} b_{1} & b_{2}\\ c_{1} & c_{2} \end{bmatrix} \end{equation} Agora, você pode calcular os determinantes das submatrizes e resolver a equação para encontrar o valor do determinante da segunda matriz.