Prove a fórmula 1 1 1 tanh ln 2 1 x x x − += − , 1x  .

A fórmula que você mencionou é uma identidade trigonométrica conhecida como a fórmula de adição do tangente hiperbólico. Para provar essa fórmula, podemos usar as definições dos logaritmos naturais e do tangente hiperbólico. Começamos com o lado esquerdo da equação: 1 + tanh(ln(x)) / (2x - 1) Agora, vamos usar as definições do tangente hiperbólico e do logaritmo natural: tanh(ln(x)) = (e^(ln(x)) - e^(-ln(x))) / (e^(ln(x)) + e^(-ln(x))) = (x - 1/x) / (x + 1/x) Substituindo essa expressão na fórmula original, temos: 1 + (x - 1/x) / (x + 1/x) / (2x - 1) Agora, vamos simplificar essa expressão: Multiplicando todos os termos por (2x - 1)(x + 1/x), obtemos: (2x - 1)(x + 1/x) + (x - 1/x) / (2x - 1) Expandindo essa expressão, temos: 2x^2 + 2 - 1/x^2 - 1 + 1/x^2 + x - 1/x / (2x - 1) Simplificando os termos semelhantes, temos: 2x^2 + 2 + x / (2x - 1) Agora, vamos simplificar ainda mais: Multiplicando todos os termos por (2x - 1), obtemos: (2x^2 + 2 + x)(2x - 1) / (2x - 1) Expandindo essa expressão, temos: 4x^3 - 2x^2 + 2x^2 - x + 4x - 2 + 2x - 1 / (2x - 1) Simplificando os termos semelhantes, temos: 4x^3 + 4x - 3 / (2x - 1) Agora, vamos simplificar ainda mais: Dividindo todos os termos por 2, obtemos: 2x^3 + 2x - 3/2x - 1/2 Essa é a forma simplificada do lado direito da equação. Portanto, provamos que a fórmula 1 + tanh(ln(x)) / (2x - 1) = 2x^3 + 2x - 3/2x - 1/2.