Prove a fórmula ( )1 2 1 cosh 1 x xD u D u − = − , 1u  .

A fórmula que você mencionou é a fórmula de inversão da função hiperbólica cosseno hiperbólico. Para provar essa fórmula, podemos usar a definição do cosseno hiperbólico inverso. Vamos começar com a fórmula original: cosh^(-1)(x) = ln(x + sqrt(x^2 - 1)) Agora, vamos substituir x por cosh(u): cosh^(-1)(cosh(u)) = ln(cosh(u) + sqrt(cosh^2(u) - 1)) Usando a identidade trigonométrica cosh^2(u) - sinh^2(u) = 1, podemos simplificar a expressão acima: cosh^(-1)(cosh(u)) = ln(cosh(u) + sqrt(sinh^2(u))) Agora, podemos simplificar ainda mais usando a definição de cosh(u) e sinh(u): cosh^(-1)(cosh(u)) = ln(e^u + sqrt(e^(2u) - 1)) Finalmente, podemos simplificar a expressão acima para obter a fórmula desejada: cosh^(-1)(cosh(u)) = u Portanto, provamos que a fórmula (1/2)ln(x + sqrt(x^2 - 1)) = cosh^(-1)(x) é verdadeira. Espero que isso tenha ajudado! Se você tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.