T: R³ --> R³, T(x,y,z) = (x + 2y + z, 2x + y - z, x + y) (a) A Transformação é Linear? Comprove sua resposta através da aplicação da conservação,...

(a) Para verificar se a transformação é linear, precisamos verificar se ela preserva as operações de soma e multiplicação. Vamos considerar dois vetores u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) em R³ e um escalar c. 1. Soma: T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = ((x1 + x2) + 2(y1 + y2) + (z1 + z2), 2(x1 + x2) + (y1 + y2) - (z1 + z2), (x1 + x2) + (y1 + y2)) = (x1 + 2y1 + z1 + x2 + 2y2 + z2, 2x1 + y1 - z1 + 2x2 + y2 - z2, x1 + y1 + x2 + y2) = (x1 + 2y1 + z1, 2x1 + y1 - z1, x1 + y1) + (x2 + 2y2 + z2, 2x2 + y2 - z2, x2 + y2) = T(u) + T(v) Portanto, a transformação preserva a operação de soma. 2. Multiplicação: T(cu) = T(cx1, cy1, cz1) = ((cx1) + 2(cy1) + (cz1), 2(cx1) + (cy1) - (cz1), (cx1) + (cy1)) = c(x1 + 2y1 + z1, 2x1 + y1 - z1, x1 + y1) = cT(u) Portanto, a transformação preserva a operação de multiplicação. Assim, podemos concluir que a transformação T é linear. (b) O núcleo de T, também conhecido como Ker(T), é o conjunto de vetores u = (x, y, z) em R³ que são mapeados para o vetor nulo T(u) = (0, 0, 0). Para encontrar o núcleo, igualamos cada componente de T(u) a zero e resolvemos o sistema de equações: x + 2y + z = 0 2x + y - z = 0 x + y = 0 Resolvendo o sistema, encontramos x = 0, y = 0 e z = 0. Portanto, o núcleo de T é o vetor nulo, Ker(T) = {(0, 0, 0)}. (c) A dimensão do núcleo, dim(Ker), é o número de vetores linearmente independentes no núcleo de T. Como o núcleo de T contém apenas o vetor nulo, sua dimensão é 0. A transformação T não é injetora, pois o núcleo não é trivial. (d) A imagem de T, também conhecida como Im(T), é o conjunto de todos os vetores w em R³ que podem ser escritos como T(u) para algum vetor u em R³. Para encontrar a imagem, podemos escrever T(u) como uma combinação linear das colunas da matriz da transformação: T(u) = (x + 2y + z, 2x + y - z, x + y) = x(1, 2, 1) + y(2, 1, 1) + z(0, -1, 0) Portanto, a imagem de T é o espaço gerado pelos vetores (1, 2, 1), (2, 1, 1) e (0, -1, 0). (e) A dimensão da imagem, dim(Im), é o número de vetores linearmente independentes que geram a imagem de T. Podemos observar que os vetores (1, 2, 1) e (2, 1, 1) são linearmente independentes, enquanto o vetor (0, -1, 0) é uma combinação linear dos outros dois. Portanto, a dimensão da imagem é 2. A transformação T não é sobrejetora, pois a imagem não abrange todo o espaço R³. (f) A matriz da transformação T é obtida escrevendo as coordenadas dos vetores da base canônica de R³ após serem transformados por T. A base canônica de R³ é {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. Aplicando T a cada vetor da base, temos: T(1, 0, 0) = (1 + 2(0) + 0, 2(1) + 0 - 0, 1 + 0) = (1, 2, 1) T(0, 1, 0) = (0 + 2(1) + 0, 2(0) + 1 - 0, 0 + 1) = (2, 1, 1) T(0, 0, 1) = (0 + 2(0) + 1, 2(0) + 0 - 1, 0 + 0) = (1, -1, 0) Portanto, a matriz da transformação T é: | 1 2 1 | | 2 1 1 | | 1 -1 0 | (g) Para encontrar os autovalores da matriz da transformação, precisamos resolver a equação característica det(A - λI) = 0, onde A é a matriz da transformação, λ é o autovalor e I é a matriz identidade. Calculando o determinante: | 1 - λ 2 1 | | 2 1 - λ 1 | | 1 -1 - λ | (1 - λ)[(1 - λ)(-λ) - (1)(-1)] - 2[(2)(-λ) - (1)(-1)] + 1[(2)(-1) - (1)(1)] = 0 Simplificando e resolvendo a equação, encontramos os autovalores λ₁ = 1, λ₂ = -1 e λ₃ = -2. (h) Para encontrar os autovetores correspondentes aos autovalores encontrados, precisamos resolver o sistema de equações (A - λI)v = 0, onde A é a matriz da transformação, λ é o autovalor e v é o autovetor. Para cada autovalor, temos: Para λ₁ = 1: (1 - 1)x + 2y + z = 0 2x + (1 - 1)y + z = 0 x - y = 0 Resolvendo o sistema, encontramos x = y e z = -2y. Portanto, um autovetor correspondente a λ₁ = 1 é v₁ = (y, y, -2y), onde y é um escalar não nulo. Para λ₂ = -1: (1 - (-1))x + 2y + z = 0 2x + (1 - (-1))y + z = 0 x - y = 0 Resolvendo o sistema, encontramos x = y e z = -2y. Portanto, um autovetor correspondente a λ₂ = -1 é v₂ = (y, y, -2y), onde y é um escalar não nulo. Para λ₃ = -2: (1 - (-2))x + 2y + z = 0 2x + (1 - (-2))y + z = 0 x - y = 0 Resolvendo o sistema, encontramos x = y e z = -2y. Portanto, um autovetor correspondente a λ₃ = -2 é v₃ = (y, y, -2y), onde y é um escalar não nulo. Esses são os autovetores correspondentes aos autovalores encontrados.