Para a Transformação a seguir, responda ao que se pede: T: R³ --> R³, T(x,y,z) = (x + 2y + z, 2x + y - z, x + y) (a) A Transformação é Linear? Co...

(a) Para verificar se a transformação é linear, precisamos verificar se ela preserva as operações de soma e multiplicação. Vamos analisar: Seja u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) dois vetores em R³ e k um escalar qualquer. T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = ((x1 + x2) + 2(y1 + y2) + (z1 + z2), 2(x1 + x2) + (y1 + y2) - (z1 + z2), (x1 + x2) + (y1 + y2)) = (x1 + 2y1 + z1 + x2 + 2y2 + z2, 2x1 + y1 - z1 + 2x2 + y2 - z2, x1 + y1 + x2 + y2) T(u) + T(v) = (x1 + 2y1 + z1, 2x1 + y1 - z1, x1 + y1) + (x2 + 2y2 + z2, 2x2 + y2 - z2, x2 + y2) = (x1 + 2y1 + z1 + x2 + 2y2 + z2, 2x1 + y1 - z1 + 2x2 + y2 - z2, x1 + y1 + x2 + y2) T(ku) = T(kx1, ky1, kz1) = ((kx1) + 2(ky1) + (kz1), 2(kx1) + (ky1) - (kz1), (kx1) + (ky1)) = k(x1 + 2y1 + z1, 2x1 + y1 - z1, x1 + y1) Podemos observar que T(u + v) = T(u) + T(v) e T(ku) = kT(u), portanto, a transformação é linear. (b) Para encontrar o núcleo de T (Ker(T)), precisamos encontrar os vetores (x, y, z) em R³ que são mapeados para o vetor nulo (0, 0, 0) em R³. Resolvendo a equação T(x, y, z) = (0, 0, 0), temos: x + 2y + z = 0 2x + y - z = 0 x + y = 0 Podemos resolver esse sistema de equações para encontrar as soluções. (c) Para determinar a dimensão do núcleo (dim(Ker)) e verificar se a transformação é injetora, precisamos encontrar o número de soluções independentes do sistema de equações encontrado no item (b). (d) Para encontrar a imagem de T (Im(T)), precisamos determinar quais vetores em R³ são obtidos como resultado da aplicação da transformação T. (e) Para determinar a dimensão da imagem (dim(Im)) e verificar se a transformação é sobrejetora, precisamos encontrar o número de vetores independentes na imagem de T. (f) Para determinar a matriz da transformação, podemos escrever a transformação T como uma matriz 3x3 e multiplicá-la pelo vetor (x, y, z). (g) Para encontrar os autovalores da transformação, precisamos resolver a equação T(v) = λv, onde λ é o autovalor e v é o autovetor correspondente. (h) Para encontrar os autovetores da transformação, precisamos encontrar os vetores v que satisfazem a equação T(v) = λv, onde λ é o autovalor correspondente.