​Para a Transformação a seguir, responda ao que se pede: T: R³ --> R³, T(x,y,z) = (x + y + z, x - y + z, x + y - z)

T (u+v) = T(u) + T(v)

T (u+v) = T (x1+x2 , y1+y2 , z1+z2)

T (u+v) = ( (x1+x2) + (y1 + y2) + (z1+z2) , (x1+x2) - (y1 + y2) + (z1+z2) , (x1+x2) + (y1 + y2) - (z1+z2) )

T (u+v) =  ((x1+y1+z1) + (x2+y2+z2) , (x1-y1+z1)) + ((x2-y2+z2) , (x1+y1-z1) + (x2+y2-z2))

T (u+v) = ((x1+y1+z1) , (x1-y1+z1 , (x1+y1-z1)) + ((x2+y2+z2) , (x2-y2+z2) , (x2-y2-z2))

                                        T(u)                                                  T(v)

T (u+v) = T (x1 , y1 , z1) + (x2+y2+z2)

T (u+v) = T (u) + T (v)

A regra número 1 foi verificada para a transformação a T1.

As Transformações (e consequentemente, as Transformações Lineares) estão entre as principais aplicações da Álgebra Linear. Lembrando: dados dois conjuntos, não vazios, U e V, uma aplicação (transformação) de U em V é uma "lei" que associa a cada elemento de U um único elemento de V. Se denotamos por F esta aplicação, então, o elemento associado é denotado por F(u), que está em V, denominado a imagem de u pela aplicação F.

Para a Transformação a seguir, responda ao que se pede:

T: R³ --> R³, T(x,y,z) = (x + 2y + z, 2x + y - z, x + y)

(a) A Transformação é Linear? Comprove sua resposta através da aplicação da conservação, ou não, das Operações de Soma e Multiplicação.

(b) Qual o Núcleo de T [ Ker(T) ]?

(c) Qual a dimensão do Núcleo [ dim(Ker) ]? A Transformação é injetora?

(d) Qual a Imagem de T [ Im(T) ]?

(e) Qual a dimensão da Imagem [ dim(Im) ]? A Transformação é sobrejetora?

(f) Qual a matriz da Transformação?

(g) Quais seus autovalores?

(h) Quais seus autovetores?