Uma das aplicações do conceito de integração é o cálculo da área entre curvas. Este procedimento permite que sejam calculadas áreas que antes, com ...

Para determinar a área entre as curvas y = x² e y = x, podemos utilizar o cálculo de integração. Vamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas: y = x² y = x Igualando as duas equações, temos: x² = x Podemos reescrever essa equação como: x² - x = 0 Fatorando, temos: x(x - 1) = 0 Portanto, os pontos de interseção são x = 0 e x = 1. Agora, vamos calcular a integral da diferença entre as duas curvas entre esses pontos de interseção: ∫[0, 1] (x - x²) dx Integrando, temos: ∫[0, 1] (x - x²) dx = [x²/2 - x³/3] [0, 1] Substituindo os limites de integração, temos: (1²/2 - 1³/3) - (0²/2 - 0³/3) = (1/2 - 1/3) - (0 - 0) = 1/6 Portanto, a área entre as curvas y = x² e y = x é igual a 1/6. Assim, a alternativa correta é a letra C) Somente a opção II está correta.