Prove que as seguintes sequências tem o limite L: (a) { 4 2n−1 } ; L = 0 (b) { 5−n 2+3n } ; L = −13 (c) { 2n2 5n2+1 } ;L = 25

Para provar que as sequências têm o limite L, precisamos mostrar que, para qualquer valor de ε (epsilon) positivo, existe um valor de N (número natural) tal que, para todo n maior que N, os termos da sequência estão dentro de uma distância ε do limite L. (a) Para a sequência {4/(2n-1)}, podemos observar que à medida que n se aproxima do infinito, o denominador 2n-1 também se aproxima do infinito. Portanto, o limite dessa sequência é 0. (b) Para a sequência {(5-n)/(2+3n)}, podemos observar que à medida que n se aproxima do infinito, tanto o numerador 5-n quanto o denominador 2+3n se aproximam do infinito. Portanto, o limite dessa sequência é -13. (c) Para a sequência {2n^2/(5n^2+1)}, podemos observar que à medida que n se aproxima do infinito, tanto o numerador 2n^2 quanto o denominador 5n^2+1 se aproximam do infinito. Portanto, o limite dessa sequência é 25. Essa é uma explicação geral sobre como provar o limite de uma sequência. Se você tiver alguma dúvida específica sobre algum passo do processo, por favor, me avise!