Determine a área limitada pelas retas , , e , projetada na supefície y = x x = 0 x = 1 y = 0 z = x + y.

Para determinar a área limitada pelas retas x = 0, x = 1, y = 0 e z = x + y, projetada na superfície y = x, podemos utilizar o cálculo de integrais duplas. Primeiro, vamos encontrar os limites de integração. A reta x = 0 representa o eixo y, então o limite inferior para x será 0. A reta x = 1 representa o limite superior para x. A reta y = 0 representa o eixo x, então o limite inferior para y será 0. A superfície y = x representa o limite superior para y. Agora, podemos escrever a integral dupla para calcular a área: A = ∬ R dA Onde R é a região limitada pelas retas e dA é o elemento de área. A integral dupla pode ser escrita como: A = ∫[0,1] ∫[0,x] 1 dy dx Agora, podemos calcular a integral: A = ∫[0,1] (y)|[0,x] dx A = ∫[0,1] x dx A = (1/2)x^2 |[0,1] A = (1/2)(1)^2 - (1/2)(0)^2 A = 1/2 Portanto, a área limitada pelas retas x = 0, x = 1, y = 0 e z = x + y, projetada na superfície y = x, é igual a 1/2.