Para encontrar a derivada implícita da equação \(-x^3y^2 + 4xy = -4x + 2y\), vamos derivar ambos os lados em relação a \(x\) e aplicar a regra do produto e a regra da cadeia. 1. Derivando o lado esquerdo: - Para \(-x^3y^2\), usamos a regra do produto: \[ \frac{d}{dx}(-x^3y^2) = -3x^2y^2 - x^3(2y \frac{dy}{dx}) = -3x^2y^2 - 2x^3y\frac{dy}{dx} \] - Para \(4xy\): \[ \frac{d}{dx}(4xy) = 4(y + x\frac{dy}{dx}) \] 2. Derivando o lado direito: - Para \(-4x\): \[ \frac{d}{dx}(-4x) = -4 \] - Para \(2y\): \[ \frac{d}{dx}(2y) = 2\frac{dy}{dx} \] Agora, juntando tudo, temos: \[ -3x^2y^2 - 2x^3y\frac{dy}{dx} + 4(y + x\frac{dy}{dx}) = -4 + 2\frac{dy}{dx} \] Reorganizando a equação para isolar \(\frac{dy}{dx}\): \[ -2x^3y\frac{dy}{dx} + 4x\frac{dy}{dx} - 2\frac{dy}{dx} = -4 + 4y + 3x^2y^2 \] Fatorando \(\frac{dy}{dx}\): \[ \frac{dy}{dx}(-2x^3y + 4x - 2) = -4 + 4y + 3x^2y^2 \] Finalmente, isolando \(\frac{dy}{dx}\): \[ \frac{dy}{dx} = \frac{-4 + 4y + 3x^2y^2}{-2x^3y + 4x - 2} \] Portanto, a derivada implícita é: \[ y' = \frac{-4 + 4y + 3x^2y^2}{-2x^3y + 4x - 2} \] Verifique as opções que você tem e veja qual delas corresponde a essa expressão.