Seja T: R3 - R3 uma transformação linear definida por T(x,y,z)=(x - y, 2x + y + 3z ,-z -2y -3z). Se Im(T) e N(T) denominam, respectivamente a image...

Para encontrar a imagem e o núcleo da transformação linear T, precisamos resolver o sistema homogêneo T(x,y,z) = (0,0,0) e encontrar a base do núcleo. Em seguida, aplicamos a transformação linear T em uma base canônica de R3 para encontrar a imagem. Resolvendo o sistema homogêneo, obtemos: x - y = 0 2x + y + 3z = 0 -z - 2y - 3z = 0 A primeira equação nos dá x = y. Substituindo na segunda equação, obtemos 2y + y + 3z = 0, ou seja, y = -3z/3. Substituindo na terceira equação, obtemos -z - 2(-3z/3) - 3z = 0, ou seja, z = -1. Portanto, y = 1 e x = 1. Assim, a base do núcleo é {(1,-1,0)}. Para encontrar a imagem, aplicamos T na base canônica de R3: T(1,0,0) = (1,2,0) T(0,1,0) = (-1,1,-2) T(0,0,1) = (0,3,-3) Portanto, a imagem de T é o espaço gerado pelos vetores {(1,2,0),(-1,1,-2),(0,3,-3)}. A alternativa correta é a letra D.