(CESGRANRIO / 2012) Em um projeto de um pilar cilíndrico sob compressão, com as extremidades engastadas, verificou-se a necessidade de multiplicar ...

Para resolver esse problema, é necessário utilizar a fórmula de Euler para pilar engastado nas duas extremidades, que é dada por: Pcr = (π² * E * I) / L² Onde: - Pcr é a carga crítica de Euler; - E é o módulo de elasticidade do material; - I é o momento de inércia da seção transversal do pilar; - L é o comprimento do pilar. Como as extremidades do pilar são engastadas, a condição de contorno é de que a extremidade não pode girar nem se deslocar, o que significa que a extremidade é fixa. Portanto, a altura do pilar deve ser multiplicada por 4, o que significa que o comprimento do pilar será 4 vezes maior do que o comprimento original. Assim, temos: Pcr = (π² * E * I) / (4L)² Para que não haja tensões compressivas superiores a 0,4 MPa, devemos ter: Pcr ≤ 0,4 MPa * A Onde A é a área da seção transversal do pilar. Substituindo a primeira equação na segunda, temos: (π² * E * I) / (4L)² ≤ 0,4 MPa * A Isolando L, temos: L ≤ √[(π² * E * I) / (0,4 MPa * A)] / 2 Substituindo os valores dados na questão, temos: L ≤ √[(π² * 200 GPa * (b * h³ / 12)) / (0,4 MPa * (4b * h))] / 2 L ≤ √[(π² * 200 * 10⁹ Pa * (b * h² / 12)) / (1,6 * 10⁵ Pa * b * h)] / 2 L ≤ √[(π² * 1250 * b * h) / h] / 2 L ≤ √[(π² * 1250 * b * h)] / (2h) L ≤ √[(π² * 1250 * b)] / 2 L ≤ 11,13 * b Como a seção transversal do pilar é retangular, temos que a altura é 4 vezes maior do que o valor original, ou seja, h = 4x. Substituindo na equação acima, temos: L ≤ 11,13 * b * 4 L ≤ 44,52 * b Agora, precisamos encontrar o valor máximo de x para que não haja tensões compressivas superiores a 0,4 MPa. Para isso, devemos calcular a área da seção transversal do pilar em função de x: A = b * (4x) A = 4bx Substituindo na equação de Pcr, temos: Pcr = (π² * E * I) / (4L)² Pcr = (π² * 200 GPa * (b * (4x)³ / 12)) / (4 * 44,52 * b)² Pcr = (π² * 200 * 10⁹ Pa * (64bx³ / 12)) / (4 * 44,52)² Pcr = (π² * 200 * 10⁹ Pa * (16bx³)) / (44,52)² Pcr = 0,0000018 x³ Substituindo na equação de tensão, temos: 0,0000018 x³ ≤ 0,4 MPa * 4bx 0,0000018 x³ ≤ 1,6 * 10⁵ x x² ≤ 88888,89 x ≤ 298,14 mm Portanto, o valor máximo de x para que não haja tensões compressivas superiores a 0,4 MPa é de aproximadamente 298,14 mm, o que corresponde à alternativa E.