Para resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial \(4y'' - 8y' + 3y = 0\) com as condições iniciais \(y(0) = 2\) e \(y'(0) = 1\), seguimos os seguintes passos: 1. Encontrar a equação característica: A equação característica associada é \(4r^2 - 8r + 3 = 0\). 2. Resolver a equação característica: Usamos a fórmula de Bhaskara: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3}}{2 \cdot 4} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{8} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{8} = \frac{8 \pm 4}{8} \] Isso nos dá as raízes \(r_1 = \frac{3}{2}\) e \(r_2 = \frac{1}{2}\). 3. Escrever a solução geral: A solução geral da equação diferencial é dada por: \[ y(t) = C_1 e^{\frac{3}{2}t} + C_2 e^{\frac{1}{2}t} \] 4. Aplicar as condições iniciais: - Para \(y(0) = 2\): \[ C_1 + C_2 = 2 \] - Para \(y'(t)\): \[ y'(t) = \frac{3}{2}C_1 e^{\frac{3}{2}t} + \frac{1}{2}C_2 e^{\frac{1}{2}t} \] E aplicando \(y'(0) = 1\): \[ \frac{3}{2}C_1 + \frac{1}{2}C_2 = 1 \] 5. Resolver o sistema de equações: - Temos o sistema: \[ C_1 + C_2 = 2 \] \[ \frac{3}{2}C_1 + \frac{1}{2}C_2 = 1 \] Multiplicando a segunda equação por 2: \[ 3C_1 + C_2 = 2 \] Agora, resolvendo o sistema: Subtraindo a primeira da segunda: \[ 3C_1 + C_2 - (C_1 + C_2) = 2 - 2 \implies 2C_1 = 0 \implies C_1 = 0 \] Substituindo \(C_1\) na primeira equação: \[ 0 + C_2 = 2 \implies C_2 = 2 \] 6. Solução final: Portanto, a solução do problema de valor inicial é: \[ y(t) = 2 e^{\frac{1}{2}t} \] Essa é a solução que atende às condições iniciais dadas.