Para determinar a direção na qual a temperatura aumenta mais rapidamente, precisamos calcular o gradiente da função \( T(x, y) = x^3 - y^3 + xy \) no ponto \( (2, 1) \). O gradiente é dado por: \[ \nabla T = \left( \frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y} \right) \] Calculando as derivadas parciais: 1. \( \frac{\partial T}{\partial x} = 3x^2 + y \) 2. \( \frac{\partial T}{\partial y} = -3y^2 + x \) Agora, avaliamos essas derivadas no ponto \( (2, 1) \): 1. \( \frac{\partial T}{\partial x} \bigg|_{(2, 1)} = 3(2^2) + 1 = 3(4) + 1 = 12 + 1 = 13 \) 2. \( \frac{\partial T}{\partial y} \bigg|_{(2, 1)} = -3(1^2) + 2 = -3(1) + 2 = -3 + 2 = -1 \) Portanto, o gradiente no ponto \( (2, 1) \) é: \[ \nabla T(2, 1) = (13, -1) \] A direção na qual a temperatura aumenta mais rapidamente é dada pelo vetor gradiente. Agora, precisamos verificar qual das alternativas corresponde a essa direção. Analisando as alternativas: A. \( \vec{v} = (1, 3) \) B. \( \vec{v} = (1, -3) \) C. \( \vec{v} = (-1, 3) \) D. \( \vec{v} = (-1, -3) \) E. \( \vec{v} = (3, 1) \) Nenhuma das alternativas corresponde exatamente ao vetor \( (13, -1) \), mas a direção do vetor gradiente é o que importa. O vetor \( (13, -1) \) tem a mesma direção que \( (1, -\frac{1}{13}) \), que é semelhante a \( (1, -3) \) em termos de direção. Portanto, a alternativa que melhor representa a direção na qual a temperatura aumenta mais rapidamente é: B. \( \vec{v} = (1, -3) \).