Calcule o fluxo do campo jyixF ρρρ+= através da superfície S , sendo S a parte do primeiro octante, limitada pelos três planos co...

Para calcular o fluxo do campo através da superfície S, podemos aplicar o Teorema da Divergência de Gauss. Primeiro, precisamos calcular a divergência do campo F: div(F) = ∂jy/∂x + ∂ix/∂y + ∂ρ/∂z Substituindo as componentes do campo F, temos: div(F) = ∂(jy)/∂x + ∂(ix)/∂y + ∂(ρ)/∂z = 0 + 0 + 1 = 1 Agora, podemos aplicar o Teorema da Divergência de Gauss: ∫∫S F · dS = ∫∫∫V div(F) dV Onde V é o volume limitado pela superfície S. Como a superfície S é a parte do primeiro octante limitada pelos três planos coordenados e pela esfera de raio R, podemos escrever: V = ∫∫∫(x, y, z) dV = ∫0^R ∫0^√(R^2 - z^2) ∫0^√(R^2 - x^2 - y^2) dx dy dz Integrando a expressão da divergência de F em relação a V, temos: ∫∫S F · dS = ∫∫∫V div(F) dV = ∫0^R ∫0^√(R^2 - z^2) ∫0^√(R^2 - x^2 - y^2) 1 dx dy dz = ∫0^R ∫0^√(R^2 - z^2) 2√(R^2 - x^2 - y^2) dy dz = ∫0^R π(R^2 - z^2) dz = πR^4/4 Portanto, o fluxo do campo através da superfície S é πR^4/4.