Encontre os pontos extremos da função xyxy)y,x(f −+= , na região 4yx 22 ≤+ . Encontrar os pontos extremos da função xyxy)y,x(f −+= , na região 4yx...

Para encontrar os pontos extremos da função f(x,y) = xy + x^2 + y^2 na região 4y + 2x^2 ≤ 2, podemos utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange. Primeiro, precisamos definir a função g(x,y) = 4y + 2x^2 - 2, que representa a restrição da região. Em seguida, montamos o sistema de equações: ∇f(x,y) = λ∇g(x,y) g(x,y) = 0 Calculando os gradientes, temos: ∇f(x,y) = ∇g(x,y) = <4x, 4> Multiplicando o gradiente de g(x,y) por λ, temos: λ∇g(x,y) = <4λx, 4λ> Igualando as duas expressões para o gradiente, temos o sistema: y + 2x = 4λx x + 2y = 4λ E a restrição: 4y + 2x^2 = 2 Resolvendo o sistema, encontramos os pontos extremos: P1 = (-1/2, 1/2), f(P1) = -1/4 P2 = (1/2, -1/2), f(P2) = -1/4 Portanto, os pontos extremos da função na região dada são P1 e P2, ambos com valor mínimo de -1/4.