Questão resolvida Dada a função f(x)=(x²+1)_e^x, encontre os valores extremos de f no intervalo [-1,2] máximo e mínimo da função cálculo I - UEM

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Dada a função
 
 f x =( )
x + 1
e
2
x
 
 encontre os valores extremos de f no intervalo . -1, 2[ ]
 
Resolução:
 
Primeiro, vamos fazer a derivada da função;
 
 f x = f' x = f' x =( )
x + 1
e
2
x
→ ( )
2xe - e x + 1
e
x x 2
x 2
→ ( )
2xe - e x + 1
e
x x 2
2x
Agora, devemos igualar a derivada a zero e resolver a equação para x, os valores 
encontrados são os prováveis pontos críticos de ; f x( )
 
= 0 2xe - e x + 1 = 0 ⋅ e e 2xe - x + 1 = 0
2xe - e x + 1
e
x x 2
2x
→
x x 2 2x
→
x x 2
 
2x - x + 1 = 0 2x - x - 1 = 0 × -1 x - 2x + 1 = 02 → 2 ( ) → 2
 
Resolvendo a equação do 2° grau :
 
x' = = 1
- -2 +
2 ⋅ 1
( ) -2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 1( )2 ( )
 
x" = = 1
- -2 -
2 ⋅ 1
( ) -2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 1( )2 ( )
Assim, o único candidato a ponto crítico é o de coordenada . Vamos vericar o x = 1
comportamento da derivada nos entornos de , vamos analisar o sinal da derivada f' x( ) x = 1
para e ;x = 0 x = 2
 
 
 
x = 0 f' 0 = = = - = - 1 < 0→ ( )
2 ⋅ 0 ⋅ e - e 0 + 1
e
0 0 2
2⋅0
0 - 1 ⋅ 1
e
( )
0
1
1
 
x = 2 f' 2 = = = = - = - e→ ( )
2 ⋅ 2 ⋅ e - e 2 + 1
e
2 2 2
2⋅2
4e - e 4 + 1
e
2 2( )
4
4e - 5e
e
2 2
4
e
e
2
4
2-4
= -e < 0-2
Onde o valor da derivada é positivo, indica que a função é crescente, onde o valor é 
negativo, indica que a função é decrescente;
 
 
Vaja pela análise que o ponto para não é ponto de máximo nem de mínimo no x = 1
intervalo , já que a função decresce antes e depois de .-1, 2[ ] x = 1
 
Adicionalmente, podemos verificar isso no gráfico da função abaixo;
 
 
10
-
2
-
decrescentedecrescente