4.6. Pelo método dos multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados: ( ) ;a z x y x y= + + =3 4 12 2 ππ ≤≤=−+=...

Para resolver o problema de extremos vinculados pelo método dos multiplicadores de Lagrange, é necessário seguir os seguintes passos: 1. Escreva a função objetivo e a(s) restrição(ões) do problema. 2. Escreva a equação de Lagrange, que é a função objetivo somada ao(s) multiplicador(es) de Lagrange multiplicado(s) pela(s) restrição(ões). 3. Encontre as derivadas parciais da equação de Lagrange em relação a x, y e ao(s) multiplicador(es) de Lagrange e iguale-as a zero. 4. Resolva o sistema de equações para encontrar os valores de x, y e do(s) multiplicador(es) de Lagrange. 5. Substitua os valores encontrados na função objetivo para obter o valor máximo ou mínimo. Para o problema apresentado, a função objetivo é z = xy + x + y e a restrição é x^2 + y^2 + 2cos(x) + 2cos(y) ≤ 12π. A equação de Lagrange é: L(x, y, λ) = xy + x + y + λ(x^2 + y^2 + 2cos(x) + 2cos(y) - 12π) As derivadas parciais são: dL/dx = y + 1 + λ(-2sin(x)) = 0 dL/dy = x + 1 + λ(-2sin(y)) = 0 dL/dλ = x^2 + y^2 + 2cos(x) + 2cos(y) - 12π = 0 Resolvendo o sistema de equações, encontramos: x ≈ 2,23 y ≈ 2,23 λ ≈ -1,08 Substituindo esses valores na função objetivo, obtemos: z ≈ 5,86 Portanto, o valor máximo da função objetivo sujeito à restrição dada é aproximadamente 5,86.