Aprendemos nesta unidade que a função harmônica é aquela que atende a Equação de Laplace, i.e., d²u/dx² +d²u/dy² = 0 Já as Equações de Cauchy-Riem...

Question

Aprendemos nesta unidade que a função harmônica é aquela que atende a Equação de Laplace, i.e.,

d²u/dx² +d²u/dy² = 0

Já as Equações de Cauchy-Riemann permitem encontrar as funções conjugadas harmônicas da função harmônica dada, i.e.,

du/dx = dv/dy

du/dy = -dv/dx

Para mostrar o domínio de ambas as equações, mostre que a função

u(x,y ) = x2 - y2

é harmônica e determine sua conjugada harmônica, v(x,y).

Ed · Answer

Para mostrar que a função u(x,y) = x² - y² é harmônica, precisamos calcular suas segundas derivadas parciais em relação a x e y:

d²u/dx² = 2
d²u/dy² = -2

Somando as duas equações, temos:

d²u/dx² + d²u/dy² = 2 - 2 = 0

Portanto, a função u(x,y) é harmônica.

Para encontrar a função conjugada harmônica v(x,y), precisamos resolver as equações de Cauchy-Riemann:

du/dx = dv/dy
du/dy = -dv/dx

Derivando a função u(x,y), temos:

du/dx = 2x
du/dy = -2y

Substituindo na primeira equação de Cauchy-Riemann, temos:

2x = dv/dy

Integrando em relação a y, temos:

v(x,y) = 2xy + C1(x)

Onde C1(x) é uma constante de integração que depende apenas de x.

Substituindo na segunda equação de Cauchy-Riemann, temos:

-2y = -dC1/dx

Integrando em relação a x, temos:

C1(x) = 2y² + C2

Onde C2 é uma constante de integração.

Substituindo C1(x) em v(x,y), temos:

v(x,y) = 2xy + 2y² + C2

Portanto, a função conjugada harmônica de u(x,y) = x² - y² é v(x,y) = 2xy + 2y² + C2, onde C2 é uma constante arbitrária.

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