Para resolver a integral dupla da função \( f(x) = x \) sobre a região \( D \) que é um círculo no primeiro quadrante, precisamos fazer a mudança de coordenadas de cartesianas para polares. Em coordenadas polares, temos: - \( x = r \cos(\theta) \) - \( y = r \sin(\theta) \) - O elemento de área \( dA \) em coordenadas polares é \( r \, dr \, d\theta \). A região \( D \) é limitada pelo círculo de raio 2, que em coordenadas polares é descrita por \( r \) variando de 0 a 2 e \( \theta \) variando de 0 a \( \frac{\pi}{2} \). Portanto, a função \( f(x) = x \) se torna \( f(r, \theta) = r \cos(\theta) \). A integral dupla em coordenadas polares será: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2} (r \cos(\theta)) \cdot r \, dr \, d\theta \] Isso se simplifica para: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2} r^2 \cos(\theta) \, dr \, d\theta \] Assim, a alternativa correta que representa a integral dada em coordenadas polares é: a) \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2} r^2 \cos(\theta) \, dr \, d\theta \)