Considere o espaço vetorial V = R3 e W = {(x, y, z) ∈ R3 /2x− y − z = 0} . Mostre que W é um subespaço vetorial de V.

Para mostrar que W é um subespaço vetorial de V, precisamos verificar duas condições: 1. O vetor nulo pertence a W. 2. W é fechado sob adição e multiplicação por escalar. 1. O vetor nulo pertence a W: O vetor nulo é (0, 0, 0). Substituindo na equação de W, temos: 2(0) - 1(0) - 1(0) = 0 Portanto, o vetor nulo pertence a W. 2. W é fechado sob adição e multiplicação por escalar: Sejam u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) vetores quaisquer em W e k um escalar qualquer. Precisamos mostrar que u + v e k.u pertencem a W. Para u + v: 2(x1 + x2) - (y1 + y2) - (z1 + z2) = 2x1 - y1 - z1 + 2x2 - y2 - z2 = 0 + 0 = 0 Portanto, u + v pertence a W. Para k.u: 2(kx1) - (ky1) - (kz1) = k(2x1 - y1 - z1) = k.0 = 0 Portanto, k.u pertence a W. Assim, concluímos que W é um subespaço vetorial de V.