Questão 5. Definição 1. Se A é uma matriz m × n, dizemos que o subespaço de Rn gerado pelos vetores linha de A é chamado espaço-linha de A ...

a) Para mostrar que o espaço nulo de uma matriz Am×n é um subespaço de Rn, precisamos verificar se ele satisfaz as três propriedades de um subespaço vetorial: 1. O vetor nulo pertence ao espaço nulo de A, pois A0 = 0. 2. Se x e y pertencem ao espaço nulo de A, então A(x+y) = Ax + Ay = 0 + 0 = 0, portanto x+y também pertence ao espaço nulo de A. 3. Se x pertence ao espaço nulo de A e k é um escalar, então A(kx) = k(Ax) = k0 = 0, portanto kx também pertence ao espaço nulo de A. Portanto, o espaço nulo de A é um subespaço de Rn. b) Para determinar uma base e a dimensão do espaço nulo de A, precisamos resolver o sistema homogêneo Ax = 0. Escrevendo a matriz aumentada [A|0] e escalonando, obtemos:  1 4 5 2 0
2 1 3 0 0
−1 3 2 2 0

 Realizando as operações elementares, obtemos:  1 0 −7 −2 0
0 1 11 4 0
0 0 0 0 0

 Portanto, as variáveis livres são x3 e x4. Escrevendo as equações em termos dessas variáveis, temos: x1 = 7x3 + 2x4 x2 = -11x3 - 4x4 x3 = x3 x4 = x4 Assim, uma solução geral do sistema é dada por: x = x3  7
-11
1
0

 + x4  2
-4
0
1

 Portanto, uma base para o espaço nulo de A é dada pelos vetores:  7
-11
1
0

 e  2
-4
0
1

 E a dimensão do espaço nulo de A é 2.