Dados f(x) = 2x 4 − 2x 3 + 5x + 1 e g(x) = x 2 + 6x − 7 em R[x]. Determine: a) d(x) = mdc(f(x), g(x)) b) polinômios a1(x), b1(x) ∈ R[x] tais que d(...

a) Para encontrar o mdc(f(x), g(x)), podemos usar o algoritmo de Euclides. Dividindo f(x) por g(x), temos: 2x^4 - 2x^3 + 5x + 1 = (2x^2 - 6x + 23)(x^2 + 6x - 7) - 165x + 160 Dividindo g(x) por 165x - 160, temos: 165x - 160 = (-165/2)(x^2 + 6x - 7) + (1355/2)x - (1265/2) Dividindo x^2 + 6x - 7 por (1355/2)x - (1265/2), temos: (1355/2)x - (1265/2) = (27/2)(x^2 + 6x - 7) - (703/2) Como o resto é diferente de zero, continuamos o algoritmo de Euclides: x^2 + 6x - 7 = (2/703)(1355x - 1265)(x^2 + 6x - 7) + (1/703)(-1355x^2 - 8110x + 9858) 1355x - 1265 = (-1355/9858)(-1355x^2 - 8110x + 9858) + (1265/9858)(-1355x + 1265) -1355x^2 - 8110x + 9858 = (-8/1265)(-1355x + 1265)(-165x + 160) + (1/1265)(-1355) Portanto, o mdc(f(x), g(x)) é 1. b) Para encontrar a1(x) e b1(x), podemos usar o algoritmo estendido de Euclides. Começamos com as equações: 165x - 160 = g(x) - (2x^2 - 6x + 23)(x^2 + 6x - 7) 1355x - 1265 = f(x) - (27/2)(x^2 + 6x - 7) -1355x + 1265 = (1355/9858)(-1355x^2 - 8110x + 9858) - (1265/9858)(-1355x - 1265) -1355x^2 - 8110x + 9858 = (8/1265)(-165x + 160)(-1355x + 1265) - (1/1265)(-1355) Resolvendo para g(x) e f(x) nas duas primeiras equações, temos: g(x) = 165x - 160 + (2x^2 - 6x + 23)(x^2 + 6x - 7) f(x) = 1355x - 1265 + (27/2)(x^2 + 6x - 7) Substituindo essas expressões na terceira equação, temos: -1355x + 1265 = (1355/9858)(-1355x^2 - 8110x + 9858) - (1265/9858)(-1355x - 1265) -1355x + 1265 = (-1355/9858)(165x - 160 + (2x^2 - 6x + 23)(x^2 + 6x - 7)) - (1265/9858)(-1355x - 1265) Simplificando, temos: -1355x + 1265 = (-271/19716)(2x^4 - 2x^3 + 5x + 1) + (1355/9858)(x^2 + 6x - 7) + (1265/9858)(165x - 160) Portanto, a1(x) = (-271/19716)(2x^4 - 2x^3 + 5x + 1), b1(x) = (1355/9858)(x^2 + 6x - 7) + (1265/9858)(165x - 160). c) Para encontrar o mmc(f(x), g(x)), podemos usar a fórmula: mmc(f(x), g(x)) = (f(x) * g(x)) / mdc(f(x), g(x)) Substituindo os valores encontrados, temos: mmc(f(x), g(x)) = (2x^4 - 2x^3 + 5x + 1)(x^2 + 6x - 7) / 1 mmc(f(x), g(x)) = 2x^6 - 10x^5 - 47x^4 + 109x^3 + 223x^2 - 35x - 7