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Podemos garantir que o polinômio P(n) = n² + n + 41 fornece apenas números primos? Observe a tabela a seguir, na qual estão listados alguns casos particulares e assinale a alternativa CORRETA:
Valores aplicados em P(n)

n P(n) n P(n)
1 43 8 113
2 47 9 131
3 53 10 151
4 61 11 173
5 71 12 197
6 83 13 223
7 97 14 251

A A afirmação é verdadeira apenas para os primeiros 39 valores de n.
B A afirmação se verifica para todo n maior ou igual zero.
C Esse polinômio não é capaz de gerar um número primo.
D O polinômio não funciona para n = 14.

Ensinando Através de Questões

há 2 anos

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Ed

há 11 meses

Vamos analisar as alternativas em relação ao polinômio \( P(n) = n^2 + n + 41 \) e a questão de se ele gera apenas números primos. 1. A: "A afirmação é verdadeira apenas para os primeiros 39 valores de n." - Essa afirmação é verdadeira, pois o polinômio gera números primos para \( n = 0 \) até \( n = 39 \), mas não para \( n = 40 \) (que resulta em 1601, que é primo) e para \( n = 41 \) (que resulta em 1681, que não é primo). 2. B: "A afirmação se verifica para todo n maior ou igual a zero." - Isso é falso, pois, como mencionado, o polinômio não gera números primos para todos os valores de \( n \). 3. C: "Esse polinômio não é capaz de gerar um número primo." - Isso é falso, pois o polinômio gera números primos para vários valores de \( n \). 4. D: "O polinômio não funciona para n = 14." - Isso é falso, pois \( P(14) = 251 \), que é um número primo. Portanto, a alternativa correta é: A. A afirmação é verdadeira apenas para os primeiros 39 valores de n.

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Ed

há 2 anos

A alternativa correta é a letra B: "A afirmação se verifica para todo n maior ou igual zero." O polinômio P(n) = n² + n + 41 fornece apenas números primos para todos os valores de n maiores ou iguais a zero. Esse polinômio é conhecido como "Primo de Euler", em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, que estudou suas propriedades. Os valores apresentados na tabela são exemplos de que o polinômio fornece números primos, mas a afirmação é verdadeira para todos os valores de n maiores ou iguais a zero.

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Com relação ao conjunto dos números naturais, duas operações são bem definidas, a adição e a multiplicação, pois é sempre possível operar nesse conjunto. Já a subtração de dois números naturais, por exemplo, nem sempre resulta em um outro número natural.
Sobre o exposto, assinale a alternativa CORRETA:

A O conjunto dos números naturais é fechado em relação somente à adição.

B O conjunto dos números naturais é fechado em relação à subtração.

C O conjunto dos números naturais é fechado em relação à adição e multiplicação.

D A subtração de dois números inteiros resulta em um número natural.

A O conjunto dos números naturais é fechado em relação somente à adição.
B O conjunto dos números naturais é fechado em relação à subtração.
C O conjunto dos números naturais é fechado em relação à adição e multiplicação.
D A subtração de dois números inteiros resulta em um número natural.

O módulo de um número real é definido por uma relação contendo duas regras, uma quando o valor é maior ou igual a zero e outra quando o valor é menor que zero. Outra forma de estudá-lo é interpretando-o como a distância de um número real até o zero, o que é fundamental para utilização em alguns fenômenos físicos. Sobre o exposto, analise as afirmativas a seguir:
I. Para a, b naturais, então, |a + b| = |a|+|b| é válido e é natural.
II. Para a, b inteiro, então ||a| + b| = |a + b| é válido e é inteiro.
III. Para a, b inteiro, então, ||a|-|b|| = |a – b| é válido e é inteiro.
IV. Para a, b inteiro, então, |a . b| = |a| . |b| é válido e é inteiro.
Qual das alternativas a seguir, apresenta a colocação correta sobre estas afirmacoes anteriores:

A As afirmativas I, II e IV estão corretas.

B As afirmativas II e III estão corretas.

C Somente a afirmativa I está correta.

D As afirmativas I e IV estão corretas.

I. Para a, b naturais, então, |a + b| = |a|+|b| é válido e é natural.
II. Para a, b inteiro, então ||a| + b| = |a + b| é válido e é inteiro.
III. Para a, b inteiro, então, ||a|-|b|| = |a – b| é válido e é inteiro.
IV. Para a, b inteiro, então, |a . b| = |a| . |b| é válido e é inteiro.
A As afirmativas I, II e IV estão corretas.
B As afirmativas II e III estão corretas.
C Somente a afirmativa I está correta.
D As afirmativas I e IV estão corretas.

A união do conjunto dos números naturais com os números inteiros não positivos resulta no conjunto denominado de Conjunto dos Números Inteiros. Simbolicamente, escrevemos: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. De acordo com as definições e propriedades dos números inteiros, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
1. A união do conjunto dos números naturais com os números inteiros não positivos resulta no conjunto denominado de Conjunto dos Números Inteiros.
2. O conjunto dos números inteiros é fechado em relação à adição.
3. O conjunto dos números inteiros é fechado em relação à multiplicação.
4. O conjunto dos números inteiros é fechado em relação à subtração.

A V, V, V, F
B V, F, F, V
C F, V, V, F
D F, F, F, V

Característica sua aplicação também nos números naturais. Contudo precisamos ter cuidado entre o provavelmente verdadeiro e absolutamente verdadeiro, pois nem sempre uma afirmação que funciona para uma certa quantidade de casos particulares será válida no geral. Considerando os passos utilizados na indução matemática, analise as sentenças a seguir:
I- Verificamos se a afirmação é verdadeira para o primeiro número natural envolvido.
II- Supomos a igualdade verdadeira para um certo k e verificamos se ela continua verdadeira para k + 1, número consecutivo.
III- Concluímos que a igualdade é verdadeira para números primos.
Assinale a alternativa CORRETA:

A Somente a sentença III está correta.

B As sentenças I e III estão corretas.

C Somente a sentença II está correta.

D As sentenças I e II estão corretas.

I- Verificamos se a afirmação é verdadeira para o primeiro número natural envolvido.
II- Supomos a igualdade verdadeira para um certo k e verificamos se ela continua verdadeira para k + 1, número consecutivo.
III- Concluímos que a igualdade é verdadeira para números primos.
A Somente a sentença III está correta.
B As sentenças I e III estão corretas.
C Somente a sentença II está correta.
D As sentenças I e II estão corretas.

Quando falamos de Relação de recorrência, estamos nos referindo a uma técnica matemática que possibilita definir algumas sequências, operações, conjuntos ou até mesmo algoritmos, com um princípio bem simples, por intermédio de uma regra pode-se calcular qualquer termo em função dos antecessores imediatos.
Sabendo que para a recorrência an = 2 · an-1 + an-2, temos a0 = 2 e a1 = 3, qual o valor de a4.

A 46.
B 45.
C 43.
D 44.

Com relação às propriedades aplicadas nas operações, associe os itens, utilizando o código a seguir:
I- Elemento neutro.
II- Associatividade.
III- Comutatividade.
( ) 0 + (x + y) ---> (0 + x) + y
( ) (0 + x) + y ---> (x + 0) + y
( ) (x + 0) + y ---> x + y Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:

A I - II - III.
B II - III - I.
C II - I - III.
D III - II - I.

Saber realizar uma demonstração é, para um professor de matemática, algo extremamente fundamental. Além de conhecer de onde surgem as coisas, desenvolve o raciocínio e a possibilidade em suas aulas, explanando isso com seus alunos. Você estudou alguns axiomas fundamentais da aritmética, em que alguns deles são:
• A1 – Soma e multiplicação bem definidas
• A2 – Comutatividades
• A3 – Associatividade
• A4 – Elemento Neutro
• A5 – Simétrico
• A6 – Distributiva
• D1 – Diferença de dois números.
Usando estas nomenclaturas, realizaremos uma demonstração a seguir, em que provaremos que se - a + b = 0, então b = a. Partindo de - a + b = 0,
I. então por A1 podemos somar + a em ambos os membros, obtemos (– a + b) + a = 0 + a
II. então por A3 na esquerda e A2 na direita, – a + (b + a) = a + 0
III. então por A2 na esquerda e na direita A4, – a + (a + b) = a
IV. então por A2 na esquerda, (– a + a) + b = a
V. então por A5 na esquerda, 0 + b = a
VI. então por A2 na esquerda, b + 0 = a
VII. então por A4 na esquerda, b = a, como queríamos demonstrar.
Analisando cada item do desenvolvimento da demonstração sobre o axioma utilizado, pois o processo de demonstração está correto, podemos afirmar que:

Os itens I, II, III, V, VI e VII estão corretos.
Os itens I, II, V, VI e VII estão corretos.
Os itens I, II, IV, V, VI e VII estão corretos.
Os itens I, II, III, IV, V e VII estão corretos.

A tricotomia nos fornece uma relação muito forte no conjunto dos números inteiros. Diante deste conceito, surgem algumas propriedades para completar a relação de ordem nos números inteiros. Sobre as propriedades e as operações de ordem, associe os itens, utilizando o código a seguir:
I- Transitiva.
II- Antissimétrica.
III- Lei do Cancelamento.
( ) 1 + 2 < 3 + 2 então 1 < 3
( ) -1 < 3 e 3 < 5 então -1 < 5
( ) Se a ≤ b e b ≤ a, então a = bAssinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:

A III - II - I.
B III - I - II.
C II - I - III.
D I - II - III.

Observe a definição da operação de potenciação de números inteiros:
"Para x um número inteiro e n um número natural, definimos”
x0 = 1 para n = 0, com x ≠ 0,
x1 = x para n = 1
xn+1 = xn · x para n > 1
O que nos permite demonstrar a seguinte propriedade da potenciação (xn)m = xn·m. Considerando n fixo podemos realizar a indução sobre m. Nosso objetivo é provar que a afirmação é válida para k + 1, sendo assim, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) Para m = 0, (xn)0 = 1 e xn · 0 = x0 = 1. Logo, (xn)0 = xn · 0 = 1.
( ) A hipótese de indução: para k fixo, k ≥ 0, (xn)k = xn·k.
( ) Para k + 1, (xn)k+1 = xn· k+1, desenvolvendo o membro da esquerda e usando a hipótese de indução, temos (xn)k+1 = (xn)k · (xn)1 = xn·k · xn = xn·k+n = x2n·k+1. Logo a afirmação é verdadeira.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:

A F - V - V.
B V - F - F.
C F - V - F.
D V - V - F.