Prove que se g(~r ) é uma função limitada (isto é, |g(~r )| < M) em uma região aberta que contém ~r0 e lim ~r→~r0 f(~r ) = 0, então lim ~r→~r0 f(~r...

Para provar que lim ~r→~r0 f(~r ) · g(~r ) = 0, podemos usar a definição de limite. Dado ε > 0, precisamos encontrar um δ > 0 tal que se 0 < |~r - ~r0| < δ, então |f(~r ) · g(~r )| < ε. Como g(~r ) é limitada, podemos escolher M > 0 tal que |g(~r )| < M para todos os ~r na região aberta que contém ~r0. Então, temos: |f(~r ) · g(~r )| ≤ |f(~r )| · |g(~r )| < M|f(~r )| Agora, como lim ~r→~r0 f(~r ) = 0, podemos escolher um δ1 > 0 tal que se 0 < |~r - ~r0| < δ1, então |f(~r )| < ε/M. Assim, se escolhermos δ = min{δ1, ε/M}, teremos: 0 < |~r - ~r0| < δ Então, temos: |f(~r ) · g(~r )| ≤ M|f(~r )| < M(ε/M) = ε Portanto, lim ~r→~r0 f(~r ) · g(~r ) = 0.