Demonstre o teorema do confronto, isto é, se f(~r ) ≤ g(~r ) ≤ h(~r ) em uma região aberta que contém ~r0 e lim ~r→~r0 f(~r ) = L e lim ~r→~r0 h(~r...

Para demonstrar o teorema do confronto, podemos usar a definição de limite. Sabemos que: - lim ~r→~r0 f(~r ) = L - lim ~r→~r0 h(~r ) = L - f(~r ) ≤ g(~r ) ≤ h(~r ) Queremos mostrar que: - lim ~r→~r0 g(~r ) = L Para isso, podemos usar o seguinte raciocínio: - Dado ε > 0, podemos escolher δ1 e δ2 de forma que: - se 0 < |~r - ~r0| < δ1, então |f(~r ) - L| < ε - se 0 < |~r - ~r0| < δ2, então |h(~r ) - L| < ε - Se escolhermos δ = min{δ1, δ2}, então teremos: - se 0 < |~r - ~r0| < δ, então f(~r ) - ε < g(~r ) < h(~r ) + ε - Como f(~r ) - ε < g(~r ) < h(~r ) + ε, podemos escrever: - -ε < g(~r ) - f(~r ) < ε - -ε < h(~r ) - g(~r ) < ε - Somando as duas desigualdades, temos: - -2ε < h(~r ) - f(~r ) < 2ε - Como ε pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, podemos concluir que: - lim ~r→~r0 g(~r ) = L Portanto, o teorema do confronto está demonstrado.