3. Seja u(x,t), a velocidade unidirecional de um fluido compressível, cuja a densidade varia da seguinte forma: ρ = ρ0·[2 - cos(w·t)]. Obtenha a ex...

Para resolver esse problema, é necessário utilizar a equação de conservação da massa e a equação de conservação do momento. A equação de conservação da massa é dada por: ∂ρ/∂t + ∂(ρu)/∂x = 0 Já a equação de conservação do momento é dada por: ∂(ρu)/∂t + ∂(ρu²)/∂x = -∂p/∂x Onde p é a pressão do fluido. Substituindo a expressão da densidade dada no problema na equação de conservação da massa, temos: ρ0·w·sen(w·t) + ρ0·u·∂(sen(w·t))/∂x = 0 Como a velocidade é unidirecional, temos que ∂u/∂x = 0. Portanto, a equação acima pode ser simplificada para: u = -u0·sen(w·t)/2 Substituindo essa expressão na equação de conservação do momento, temos: ρ0·u0·w·cos(w·t)/2 + ρ0·u0²·sen(w·t)/2 = -∂p/∂x Como a pressão é constante ao longo do fluido, podemos integrar essa equação em relação a x, obtendo: p = -ρ0·u0²·sen(w·t)/2 + constante Substituindo essa expressão na equação de conservação do momento, temos: ∂u/∂t = -ρ0·w·sen(w·t)/(2·ρ0) + (p - constante)/(ρ0·u0) Simplificando essa equação, temos: ∂u/∂t = -w·sen(w·t)/2u0 + (p - constante)/(ρ0·u0) Portanto, a expressão da variação da velocidade com o tempo é dada por: u = -u0·sen(w·t)/2 + [(p - constante)/(ρ0·u0)]·t + constante2