6) Dizemos que uma curva δ:[α,β]→Rn, com derivada contínua, está parametrizada pelo comprimento de arco se ||δ′(s)||=1, para todo s∈[α,β]. Verifiqu...

Question

6) Dizemos que uma curva δ:[α,β]→Rn, com derivada contínua, está parametrizada pelo comprimento de arco se ||δ′(s)||=1, para todo s∈[α,β]. Verifique que cada uma das curvas abaixo está parametrizada pelo comprimento de arco. Interprete o parâmetro s.
a)δ(s)=(cos⁡s,sin⁡s),s≥0
b)δ(s)=⎛⎝⎜⎜Rcos⁡sR,Rsin⁡sR⎞⎠⎟⎟,s≥0,onde R>0 é um real fixo
c)δ(s)=⎛⎜⎝s5,2s5⎞⎟⎠,s≥0

Ed · Answer

a) Para verificar que a curva δ(s)=(cos⁡s,sin⁡s), s≥0 está parametrizada pelo comprimento de arco, precisamos mostrar que ||δ′(s)||=1 para todo s∈[0,∞). Temos:

δ′(s)=(-sin⁡s,cos⁡s)

||δ′(s)||=√((-sin⁡s)²+(cos⁡s)²)=√(sin²s+cos²s)=1

Portanto, a curva δ(s) está parametrizada pelo comprimento de arco e o parâmetro s representa a distância percorrida ao longo da curva.

b) Para verificar que a curva δ(s)=⎛⎝⎜⎜Rcos⁡sR,Rsin⁡sR⎞⎠⎟⎟, s≥0, onde R>0 é um real fixo, está parametrizada pelo comprimento de arco, precisamos mostrar que ||δ′(s)||=1 para todo s∈[0,∞). Temos:

δ′(s)=(-Rsin⁡sR,Rcos⁡sR)

||δ′(s)||=√((-Rsin⁡sR)²+(Rcos⁡sR)²)=√(R²sin²s+R²cos²s)=R

Portanto, a curva δ(s) está parametrizada pelo comprimento de arco e o parâmetro s representa a distância percorrida ao longo da curva, dividida pelo raio R.

c) Para verificar que a curva δ(s)=⎛⎜⎝s5,2s5⎞⎟⎠, s≥0, está parametrizada pelo comprimento de arco, precisamos mostrar que ||δ′(s)||=1 para todo s∈[0,∞). Temos:

δ′(s)=(15s4,25s4)

||δ′(s)||=√((15s4)²+(25s4)²)=√(625s8)=25s4

Portanto, a curva δ(s) está parametrizada pelo comprimento de arco e o parâmetro s representa a distância percorrida ao longo da curva, dividida por 25.

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