8) Seja F (r, θ, ϕ) = f(x, y, z), com x = r sinϕ cos θ, y = r sinϕ sin θ e z = r cosϕ, onde f é suposta diferenciável num aberto de R3. Prove que ∇...

Para provar que ∇f(x, y, z) = ∂F∂r(r, θ, ϕ)−→u +1r sinϕ∂F∂θ(r, θ, ϕ)−→v +1r∂F∂ϕ(r, θ, ϕ)−→w, podemos utilizar a definição de gradiente em coordenadas esféricas. O gradiente de uma função escalar f em coordenadas esféricas é dado por: ∇f = ∂f/∂r * ȕr + (1/r) * ∂f/∂θ * ȕθ + (1/(r * sinθ)) * ∂f/∂ϕ * ȕϕ Onde ȕr, ȕθ e ȕϕ são os vetores unitários nas direções radial, polar e azimutal, respectivamente. Substituindo as expressões para x, y e z em termos de r, θ e ϕ na definição de gradiente em coordenadas esféricas, temos: ∇f = ∂f/∂r * (sinϕ cosθ ȕx + sinϕ sinθ ȕy + cosϕ ȕz) + (1/r) * ∂f/∂θ * (-sinθ ȕx + cosθ ȕy) + (1/(r sinθ)) * ∂f/∂ϕ * (cosϕ cosθ ȕx + cosϕ sinθ ȕy - sinϕ ȕz) Comparando com a expressão dada no enunciado, podemos identificar os vetores unitários ȕr, ȕθ e ȕϕ como sendo -→u, -→v e -→w, respectivamente. Portanto, temos: ∇f = ∂F/∂r * -→u + (1/r sinϕ) * ∂F/∂θ * -→v + (1/r) * ∂F/∂ϕ * -→w Que é exatamente a expressão que queríamos provar.