9) Veri�que que ∂2f∂x2+∂2f∂y2= 0, onde f(x, y) = ln(x2 + y2).

Para verificar que ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y² = 0, onde f(x, y) = ln(x² + y²), precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de f em relação a x e y. Começando com a derivada parcial de segunda ordem em relação a x, temos: ∂²f/∂x² = ∂/∂x (∂f/∂x) = ∂/∂x (2x/(x² + y²)) = 2(x² - y²)/(x² + y²)² Agora, calculando a derivada parcial de segunda ordem em relação a y, temos: ∂²f/∂y² = ∂/∂y (∂f/∂y) = ∂/∂y (2y/(x² + y²)) = 2(y² - x²)/(x² + y²)² Somando as duas derivadas parciais de segunda ordem, temos: ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y² = 2(x² - y²)/(x² + y²)² + 2(y² - x²)/(x² + y²)² = 2(x² + y² - x² - y²)/(x² + y²)² = 0/(x² + y²)² = 0 Portanto, verificamos que ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y² = 0, onde f(x, y) = ln(x² + y²).