12. A equação de Laplace tridimensional ∂2f ∂x2 + ∂2f ∂y2 + ∂2f ∂z2 = 0 é satisfeita pelas distribuições de temperatura no estado estacionário T = ...

12. A equação de Laplace tridimensional ∂2f ∂x2 + ∂2f ∂y2 + ∂2f ∂z2 = 0 é satisfeita pelas distribuições de temperatura no estado estacionário T = f(x, y, z) no espaço, pelos potenciais gravitacionais e pelos potenciais eletrostáticos. A equação de Laplace bidimensional ∂2f ∂x2 + ∂2f ∂y2 = 0 obtida eliminando-se o termo ∂2f ∂z2 da equação anterior, descreve potenciais e distribuições de temperatura no estado estacionário no plano. O plano (a) pode ser tratado como uma fatia fina do sólido (b) perpendicular ao eixo z. Mostre que cada função satisfaz uma equação de Laplace: a) f(x, y, z) = x2 + y2 − 2z2 b) f(x, y, z) = 2z3 − 3(x2 + y2)z c) f(x, y) = e–2y cos(2x) d) f(x, y) = ln√x2 + y2