18) Seja v(r, θ) = u(x, y), onde x = rcosθ e y = r sin θ. Veri�que que ∂2u∂x2+∂2u∂y2= ∂2v∂r2+1r∂v∂r+1r2∂2v∂θ2.

Para resolver essa questão, vamos utilizar a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais de segunda ordem de u em relação a x e y: ∂²u/∂x² = ∂/∂x(∂u/∂x) = ∂/∂x(∂u/∂r * ∂r/∂x + ∂u/∂θ * ∂θ/∂x) = ∂/∂x(∂u/∂r * cosθ - ∂u/∂θ * r * sinθ) = -∂²u/∂r² * cosθ - 1/r * ∂u/∂θ * sinθ ∂²u/∂y² = ∂/∂y(∂u/∂y) = ∂/∂y(∂u/∂r * ∂r/∂y + ∂u/∂θ * ∂θ/∂y) = ∂/∂y(∂u/∂r * sinθ + ∂u/∂θ * r * cosθ) = -∂²u/∂r² * sinθ + 1/r * ∂u/∂θ * cosθ Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de v em relação a r e θ: ∂²v/∂r² = ∂/∂r(∂v/∂r) = ∂/∂r(∂u/∂r) = ∂²u/∂r² 1/r * ∂v/∂r = 1/r * ∂u/∂r = ∂u/∂r * 1/r ∂²v/∂θ² = ∂/∂θ(∂v/∂θ) = ∂/∂θ(∂u/∂θ) = ∂²u/∂θ² Substituindo essas derivadas parciais na equação dada, temos: ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = -∂²u/∂r² * cos²θ - 2/r * ∂u/∂θ * sinθ * cosθ + ∂²u/∂r² * sin²θ + 2/r * ∂u/∂θ * sinθ * cosθ = ∂²u/∂r² + 1/r * ∂u/∂r + 1/r² * ∂²u/∂θ² Portanto, a alternativa correta é a letra D.