29) São dados uma função f(x, y) = x2 + y2, um vetor unitário (a, b) e um real β > 2. Suponha que (1 + sa, 1 + sb) e (1 + t√2, 1 + t√2), com s > 0 ...

Para comparar a taxa média de variação de f entre os pontos (1, 1) e (1 + sa, 1 + sb) e entre os pontos (1, 1) e (1 + t√2, 1 + t√2), podemos utilizar a fórmula da taxa média de variação: TMV = [f(x2, y2) - f(x1, y1)] / [d(x2, y2) - d(x1, y1)] Onde: - TMV é a taxa média de variação de f entre os pontos (x1, y1) e (x2, y2) - f é a função dada: f(x, y) = x^2 + y^2 - (x1, y1) e (x2, y2) são os pontos dados - d(x, y) é a distância entre os pontos (x, y) e (1, 1) Para o primeiro caso, temos: - (x1, y1) = (1, 1) - (x2, y2) = (1 + sa, 1 + sb) - d(x2, y2) - d(x1, y1) = sqrt((1 + sa - 1)^2 + (1 + sb - 1)^2) = sqrt(s^2(a^2 + b^2)) = s*sqrt(a^2 + b^2) Substituindo na fórmula, temos: TMV1 = [f(1 + sa, 1 + sb) - f(1, 1)] / [s*sqrt(a^2 + b^2)] TMV1 = [(1 + sa)^2 + (1 + sb)^2 - 2] / [s*sqrt(a^2 + b^2)] TMV1 = [2s + s^2(a^2 + b^2)] / [s*sqrt(a^2 + b^2)] TMV1 = 2/sqrt(a^2 + b^2) + s Para o segundo caso, temos: - (x1, y1) = (1, 1) - (x2, y2) = (1 + t√2, 1 + t√2) - d(x2, y2) - d(x1, y1) = sqrt((1 + t√2 - 1)^2 + (1 + t√2 - 1)^2) = sqrt(2t^2) = t*sqrt(2) Substituindo na fórmula, temos: TMV2 = [f(1 + t√2, 1 + t√2) - f(1, 1)] / [t*sqrt(2)] TMV2 = [(1 + t√2)^2 + (1 + t√2)^2 - 2] / [t*sqrt(2)] TMV2 = [4t^2 - 2] / [t*sqrt(2)] TMV2 = 2√2 - 1/√2 Portanto, a taxa média de variação de f entre os pontos (1, 1) e (1 + sa, 1 + sb) é maior do que a taxa média de variação de f entre os pontos (1, 1) e (1 + t√2, 1 + t√2), já que TMV1 > TMV2.