6) Calcular ∫ ∫ R (x+ 1)dxdy, sendo R a região delimitada por |x|+ |y| = 1.

Para calcular a integral dupla ∫∫R (x+1) dxdy, onde R é a região delimitada por |x| + |y| = 1, podemos utilizar coordenadas polares. Primeiro, vamos desenhar o gráfico da região R. Podemos ver que R é um losango com vértices em (1, 0), (0, 1), (-1, 0) e (0, -1). Em coordenadas polares, a equação |x| + |y| = 1 se torna r(cosθ + sinθ) + r(cosθ - sinθ) = 1, ou seja, r = 1/(cosθ + sinθ). Agora, podemos escrever a integral em coordenadas polares: ∫∫R (x+1) dxdy = ∫π/4^-3π/4 ∫0^1 (rcosθ + 1)rdrdθ Resolvendo as integrais, temos: ∫π/4^-3π/4 ∫0^1 (rcosθ + 1)rdrdθ = ∫π/4^-3π/4 [(1/2)r^3cosθ + (1/2)r^2] de 0 a 1 dθ = ∫π/4^-3π/4 [(1/2)cosθ + (1/2)] dθ = [sen(θ)/2 + (θ/2)] de π/4 a -3π/4 = (1/2)√2 Portanto, a resposta é (E) (1/2)√2.