12) Calcular ∫ ∫ R (8−x−y)dxdy, sendo R delimitada por x2+y2 = 1. Interpretar geometricamente.

Para calcular a integral dupla ∫∫R (8-x-y) dxdy, onde R é a região delimitada pela circunferência de raio 1, podemos utilizar coordenadas polares. Assim, temos que x = r cosθ e y = r senθ, e a região R é descrita por 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ 2π. Substituindo as coordenadas polares na integral, temos: ∫∫R (8-x-y) dxdy = ∫θ=0^2π ∫r=0^1 (8 - r cosθ - r senθ) r dr dθ Resolvendo as integrais, temos: ∫θ=0^2π ∫r=0^1 (8 - r cosθ - r senθ) r dr dθ = ∫θ=0^2π [(32/3) - (4/3) senθ - (4/3) cosθ] dθ = 32π/3 Portanto, o valor da integral dupla é 32π/3. Geometricamente, a integral representa o volume do sólido que está acima da região R e abaixo do plano z = 8 - x - y.