5) Calcular ∫ ∫ R (x + y)dxdy, onde R é a região delimitada por y = x2 + 1; y = −1 − x2;x = −1 e x = 1.

Para calcular a integral dupla ∫∫R (x + y) dA, onde R é a região delimitada por y = x² + 1, y = -1 - x², x = -1 e x = 1, podemos seguir os seguintes passos: 1. Desenhe o gráfico da região R para visualizar a área de integração. 2. Escolha a ordem de integração. Neste caso, é mais fácil integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x. 3. Escreva os limites de integração para y em termos de x. Temos que y varia de x² + 1 a -1 - x². 4. Escreva os limites de integração para x. Temos que x varia de -1 a 1. 5. Escreva a integral dupla em termos de x e y. Assim, temos: ∫∫R (x + y) dA = ∫[-1,1] ∫[x²+1,-1-x²] (x + y) dy dx = ∫[-1,1] [(xy + 1/2 y²) |_x²+1^(-1-x²)] dx = ∫[-1,1] [(x(-2x²-1) + 1/2 (-1-x² - (x²+1)²)) - (x(x²+1) + 1/2 (x²+1)²)] dx = ∫[-1,1] [-3/2 x³ - 3/2 x - 1/2] dx = [-3/8 x^4 - 3/4 x² - 1/2 x] |_(-1)^1 = (-3/8 - 3/4 - 1/2) - (3/8 + 3/4 + 1/2) = -3 Portanto, o valor da integral dupla é -3.