4) Calcular ∫ ∫ R (2x+ y)dxdy, onde R é a região delimitada por x = y2 − 1;x = 5; y = −1 e y = 2.

Para calcular a integral dupla ∫∫R (2x+y) dA, onde R é a região delimitada por x = y² - 1, x = 5, y = -1 e y = 2, podemos seguir os seguintes passos: 1. Desenhe o gráfico da região R para visualizar melhor a área de integração. 2. Escreva os limites de integração para x e y em função das restrições dadas. Temos: -1 ≤ y ≤ 2 y² - 1 ≤ x ≤ 5 3. Escreva a integral dupla em ordem de integração. Neste caso, como a função não é muito complicada, podemos escolher a ordem de integração que preferirmos. Vamos integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y. Então, temos: ∫∫R (2x+y) dA = ∫-1² ∫y²-1⁵ (2x+y) dxdy 4. Integre em relação a x: ∫-1² ∫y²-1⁵ (2x+y) dxdy = ∫-1² [(x²+xy)|y²-1⁵] dy 5. Integre em relação a y: ∫-1² [(x²+xy)|y²-1⁵] dy = ∫-1² [(x²+(5x-x²)y-(y³-y)) / 3] dy 6. Calcule a integral em relação a y: ∫-1² [(x²+(5x-x²)y-(y³-y)) / 3] dy = [(8x³-3x²-27x+18)/3] 7. Substitua os limites de integração para y: [(8x³-3x²-27x+18)/3] |x=-1 x=2 = (32/3) Portanto, o valor da integral dupla é (32/3).