14) Calcular ∫ ∫ R (x + y)dxdy, sendo R a região delimitada por x + y = 4, x + y = 0, y − x = 0 e y − x = −1.

Para calcular a integral dupla ∫∫R (x + y) dxdy, onde R é a região delimitada pelas retas x + y = 4, x + y = 0, y - x = 0 e y - x = -1, podemos utilizar o método da integração iterada. Primeiro, vamos encontrar os limites de integração para x e y. A partir das equações das retas, podemos ver que a região R é um triângulo com vértices em (0,0), (2,2) e (3,-1). Assim, podemos escrever a integral como: ∫∫R (x + y) dxdy = ∫[0,2] ∫[x-1,4-x] (x + y) dydx Integrando em relação a y, temos: ∫[0,2] ∫[x-1,4-x] (x + y) dydx = ∫[0,2] [(xy + 0.5y^2)|x-1^(4-x)] dx Integrando em relação a x, temos: ∫[0,2] [(xy + 0.5y^2)|x-1^(4-x)] dx = ∫[0,2] [(3x^2 - 3x + 2.5)dx] Integrando, temos: ∫[0,2] [(3x^2 - 3x + 2.5)dx] = [x^3 - 1.5x^2 + 2.5x]_0^2 = 5 Portanto, o valor da integral dupla é 5.