10) Calcular ∫ ∫ R (x2 + y2)dxdy, sendo R a região interna à circunferência x2 + y2 = 4y e externa à circunferência x2 + y2 = 2y.

Para calcular a integral dada, é necessário fazer a mudança para coordenadas polares. As equações das circunferências em coordenadas polares são: - r = 2sen(θ) - r = 4sen(θ) A região R é delimitada pelas circunferências acima, e a integral fica: ∫ ∫ R (x2 + y2)dxdy = ∫∫ R r^3 dr dθ Integrando em relação a θ, temos: ∫π/2 0 ∫4sen(θ) 2sen(θ) r^3 dr dθ Integrando em relação a r, temos: ∫π/2 0 [r^4/4]4sen(θ) 2sen(θ) dθ ∫π/2 0 3/8 (sen^4(θ)) dθ Fazendo a substituição u = sen(θ), temos: ∫1 0 3/8 (u^4) cos(θ) dθ Integrando em relação a θ, temos: 3/8 ∫1 0 (u^4) dθ 3/8 [θ - (θ^5)/5]1 0 3/8 [(π/2) - ((π/2)^5)/5] Resposta: (15π - 16π^5)/160