(Questão EXTRA)[1.0] A temperatura T em qualquer ponto (x, y, z) do espaço é dada por T = 100x2yz. Determine a temperatura máxima sobre a esfera x2...

Para encontrar a temperatura máxima sobre a esfera x² + y² + z² ≤ 4, podemos utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange. Primeiro, precisamos definir a função a ser maximizada, que é a temperatura T = 100x²yz. Em seguida, definimos a restrição, que é a equação da esfera x² + y² + z² = 4. Montando o sistema de equações, temos: ∇T = λ∇g g(x, y, z) = x² + y² + z² - 4 Onde ∇T é o gradiente de T e ∇g é o gradiente de g. λ é o multiplicador de Lagrange. Calculando os gradientes, temos: ∇T = (200xyz, 100x²z, 100x²y) ∇g = (2x, 2y, 2z) Igualando as duas equações, temos: 200xyz = 2λx 100x²z = 2λy 100x²y = 2λz x² + y² + z² = 4 Dividindo a primeira equação por x, a segunda por y e a terceira por z, temos: 200yz = 2λ 100xz = 2λ 100xy = 2λ Igualando as duas primeiras equações, temos: yz = xz Substituindo na terceira equação, temos: 100x(y²) = 2λz² Substituindo as equações acima na equação da esfera, temos: x² + y² + z² = 4 x² + y² + (yz/x)² = 4 x⁴ + x²y² + y²z² = 4x² Substituindo yz = xz, temos: x⁴ + x⁴z² + x²z⁴ = 4x² x² + z² = 4 Substituindo z² = 4 - x², temos: 2x⁴ - 16x² + 16 = 0 Resolvendo a equação acima, encontramos: x² = 2 ± √2 Substituindo x² na equação da esfera, encontramos: y² + z² = 4 - x² Para x² = 2 + √2, temos: y² + z² = 2 - √2 Substituindo y² = xz, temos: z(x + 1) = 2 - √2 Substituindo z = (2 - √2)/(x + 1), temos: y² = xz = x(2 - √2)/(x + 1) Substituindo x² = 2 + √2 na função T, temos: T = 100(2 + √2)yz Substituindo y² = x(2 - √2)/(x + 1) e z = (2 - √2)/(x + 1), temos: T = 100(2 + √2)x(2 - √2)/(x + 1)² Para x² = 2 - √2, temos: y² + z² = 2 + √2 Substituindo y² = xz, temos: z(x + 1) = 2 + √2 Substituindo z = (2 + √2)/(x + 1), temos: y² = xz = x(2 + √2)/(x + 1) Substituindo x² = 2 - √2 na função T, temos: T = 100(2 - √2)yz Substituindo y² = x(2 + √2)/(x + 1) e z = (2 + √2)/(x + 1), temos: T = 100(2 - √2)x(2 + √2)/(x + 1)² Portanto, a temperatura máxima sobre a esfera x² + y² + z² ≤ 4 é 100(2 + √2)x(2 - √2)/(x + 1)² para x² = 2 + √2 e 100(2 - √2)x(2 + √2)/(x + 1)² para x² = 2 - √2. Para encontrar a temperatura mínima, podemos utilizar o mesmo método, mas agora minimizando a função T. O resultado será a temperatura mínima sobre a esfera x² + y² + z² ≤ 4.