Um fabricante de bombons tem estocado bombons de chocolate, sendo 150 kg com recheio de cerejas e 190 kg com recheio de menta. Ele decide vender o ...

Para maximizar o lucro nas vendas, o fabricante de bombons deve preparar 80 kg da mistura que contém metade dos bombons de cereja e metade de menta, e 260 kg da mistura que contém um terço de bombons de cereja e dois terços de menta. Explicação: Vamos chamar a quantidade de bombons de cereja na mistura 1 de x e a quantidade de bombons de menta na mistura 1 de y. Como a mistura 1 tem metade do peso em bombons de cereja e metade em menta, temos que: x + y = 170 (metade do estoque total de bombons) O preço da mistura 1 é R$ 25,00 por kg, então o lucro por kg é de R$ 25,00 - C, onde C é o custo por kg da mistura. O custo por kg da mistura é dado por: C = (150/x + 190/y)/2 Agora vamos analisar a mistura 2. Vamos chamar a quantidade de bombons de cereja na mistura 2 de z e a quantidade de bombons de menta na mistura 2 de w. Como a mistura 2 tem um terço do peso em bombons de cereja e dois terços em menta, temos que: z + w = 340 (estoque total de bombons - 170) O preço da mistura 2 é R$ 15,00 por kg, então o lucro por kg é de R$ 15,00 - D, onde D é o custo por kg da mistura. O custo por kg da mistura é dado por: D = (150/z + 190/w)/3 Para maximizar o lucro, precisamos encontrar os valores de x, y, z e w que maximizam a soma dos lucros das duas misturas. Podemos escrever a função lucro como: L = 25(0,5x + 0,5y) + 15(0,33z + 0,67w) Substituindo as equações de x + y = 170 e z + w = 340, podemos escrever a função lucro em termos de duas variáveis: L = 12,5x + 12,5y + 5z + 10w Agora podemos usar o método da maximização para encontrar os valores de x, y, z e w que maximizam L. Para isso, precisamos encontrar as equações de restrição e a função objetivo em termos de uma única variável. Podemos escolher, por exemplo, x como variável livre e escrever as outras variáveis em termos de x: y = 170 - x z = 340 - w w = (5700 - 25x - 20y - 4z)/10 Substituindo essas equações na função lucro, obtemos: L = 12,5x + 12,5(170 - x) + 5(340 - w) + 10w L = 2125 - 5x + 5w Agora podemos maximizar L em relação a x e w: dL/dx = -5 dL/dw = 5 Isso significa que L é maximizado quando x é mínimo e w é máximo. Substituindo as equações de y, z e w em termos de x na equação de C e D, podemos escrever C e D em termos de x: C = (150/x + 190/(170 - x))/2 D = (150/(340 - w) + 190/w)/3 Substituindo w em termos de x, obtemos: D = (150/(5700 - 25x - 20y - 4z) + 190(10x - 5700)/(25x + 20y + 4z))/3 Agora podemos maximizar o lucro em relação a x: d(Lucro)/dx = d(25(0,5x + 0,5y) + 15(0,33z + 0,67w))/dx d(Lucro)/dx = 12,5 - 0,5C - 0,33D Igualando a zero e resolvendo para x, obtemos: 0,5C + 0,33D = 12,5 0,5(150/x + 190/(170 - x))/2 + 0,33(150/(5700 - 25x - 20y - 4z) + 190(10x - 5700)/(25x + 20y + 4z))/3 = 12,5 x = 80 Substituindo x na equação de y, z e w, obtemos: y = 90 z = 260 w = 80 Portanto, o fabricante de bombons deve preparar 80 kg da mistura que contém metade dos bombons de cereja e metade de menta, e 260 kg da mistura que contém um terço de bombons de cereja e dois terços de menta para maximizar seu lucro nas vendas.

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