Buscar

Considere o operador linear T : R4 ! R4 dado por T (x; y; z; t) = (y + t; x+ z; y + t; x+ z). (a) Determine o polinômio de T . (b) Quais são os a...

Considere o operador linear T : R4 ! R4 dado por T (x; y; z; t) = (y + t; x+ z; y + t; x+ z).

(a) Determine o polinômio de T .

(b) Quais são os autovalores de T?

(c) Encontre os autovetores de T .

(d) T é inversível?

(e) T é diagonalizável? Em caso a�rmativo, dê uma base � na qual [T ]� é diagonal.
(a) Determine o polinômio de T .
(b) Quais são os autovalores de T?
(c) Encontre os autovetores de T .
(d) T é inversível?
(e) T é diagonalizável? Em caso a�rmativo, dê uma base � na qual [T ]� é diagonal.

Essa pergunta também está no material:

Lista Algebra
3 pág.

Prova de ÁLGEBRA LINEAR UFES

Álgebra Linear I Universidade Federal do Espírito SantoUniversidade Federal do Espírito Santo

💡 1 Resposta

User badge image

Ed Verified user icon

(a) Para determinar o polinômio característico de T, precisamos calcular a matriz associada a T e, em seguida, calcular o determinante de (T - λI), onde I é a matriz identidade e λ é um escalar. Temos: T(x, y, z, t) = (y + t, x + z, y + t, x + z) A matriz associada a T é: [A] = [T] = [0 1 0 1] [1 0 1 0] [0 1 0 1] [1 0 1 0] Então, o polinômio característico é: det([T] - λ[I]) = det([[-λ, 1, 0, 1], [1, -λ, 1, 0], [0, 1, -λ, 1], [1, 0, 1, -λ]]) = -λ(det([[1, 1, 0], [1, -λ, 1], [0, 1, -λ]]) - det([[1, 0, 1], [1, -λ, 0], [0, 1, -λ]])) + det([[1, 1, 0, 1], [1, -λ, 1, 0], [0, 1, -λ, 1], [1, 0, 1, -λ]]) = -λ(λ^3 - 4λ) + 4λ = -λ^4 + 4λ^2 Portanto, o polinômio característico de T é -λ^4 + 4λ^2. (b) Para encontrar os autovalores de T, precisamos resolver a equação característica det([T] - λ[I]) = 0. Temos: -λ^4 + 4λ^2 = 0 Fatorando, temos: -λ^2(λ^2 - 4) = 0 Então, os autovalores são λ1 = 0 e λ2 = 2 e λ3 = -2. (c) Para encontrar os autovetores de T, precisamos resolver a equação (T - λI)v = 0, onde v é um autovetor associado a λ. Temos: Para λ1 = 0: (T - λ1I)v = Tv = (y + t, x + z, y + t, x + z) (v1, v2, v3, v4) = (0, 0, 0, 0) Isso nos dá o sistema de equações: y + t = 0 x + z = 0 y + t = 0 x + z = 0 Que pode ser simplificado para: y + t = 0 x + z = 0 Podemos escolher v3 = 1 e v4 = 0, e então obtemos v1 = -1 e v2 = 0. Portanto, um autovetor associado a λ1 = 0 é (-1, 0, 1, 0). Para λ2 = 2: (T - λ2I)v = Tv - 2v = (y + t - 2v1, x + z - 2v2, y + t - 2v3, x + z - 2v4) = (0, 0, 0, 0) Isso nos dá o sistema de equações: y + t - 2v1 = 0 x + z - 2v2 = 0 y + t - 2v3 = 0 x + z - 2v4 = 0 Podemos escolher v1 = 1 e v2 = 0, e então obtemos v3 = 1 e v4 = 0. Portanto, um autovetor associado a λ2 = 2 é (1, 0, 1, 0). Para λ3 = -2: (T - λ3I)v = Tv + 2v = (y + t + 2v1, x + z + 2v2, y + t + 2v3, x + z + 2v4) = (0, 0, 0, 0) Isso nos dá o sistema de equações: y + t + 2v1 = 0 x + z + 2v2 = 0 y + t + 2v3 = 0 x + z + 2v4 = 0 Podemos escolher v1 = 1 e v2 = 0, e então obtemos v3 = -1 e v4 = 0. Portanto, um autovetor associado a λ3 = -2 é (1, 0, -1, 0). (d) Para determinar se T é inversível, precisamos verificar se det(T) é diferente de zero. Temos: det(T) = det([T]) = det([[0, 1, 0, 1], [1, 0, 1, 0], [0, 1, 0, 1], [1, 0, 1, 0]]) = -2 Como det(T) é diferente de zero, T é inversível. (e) Para determinar se T é diagonalizável, precisamos verificar se existem autovetores linearmente independentes suficientes para formar uma base de R4. Como encontramos três autovetores linearmente independentes, podemos concluir que T é diagonalizável. Uma base para a qual [T] é diagonal é dada pelos autovetores: (-1, 0, 1, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, -1, 0)

0
Dislike0

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis


✏️ Responder

SetasNegritoItálicoSublinhadoTachadoCitaçãoCódigoLista numeradaLista com marcadoresSubscritoSobrescritoDiminuir recuoAumentar recuoCor da fonteCor de fundoAlinhamentoLimparInserir linkImagemFórmula

Para escrever sua resposta aqui, entre ou crie uma conta.

User badge image

Perguntas relacionadas

Materiais relacionados

Materiais recentes

Perguntas Recentes