Considere o operador linear T : R4 ! R4 dado por T (x; y; z; t) = (y + t; x+ z; y + t; x+ z). (a) Determine o polinômio de T . (b) Quais são os a...

(a) Para determinar o polinômio característico de T, precisamos calcular a matriz associada a T e, em seguida, calcular o determinante de (T - λI), onde I é a matriz identidade e λ é um escalar. Temos: T(x, y, z, t) = (y + t, x + z, y + t, x + z) A matriz associada a T é: [A] = [T] = [0 1 0 1] [1 0 1 0] [0 1 0 1] [1 0 1 0] Então, o polinômio característico é: det([T] - λ[I]) = det([[-λ, 1, 0, 1], [1, -λ, 1, 0], [0, 1, -λ, 1], [1, 0, 1, -λ]]) = -λ(det([[1, 1, 0], [1, -λ, 1], [0, 1, -λ]]) - det([[1, 0, 1], [1, -λ, 0], [0, 1, -λ]])) + det([[1, 1, 0, 1], [1, -λ, 1, 0], [0, 1, -λ, 1], [1, 0, 1, -λ]]) = -λ(λ^3 - 4λ) + 4λ = -λ^4 + 4λ^2 Portanto, o polinômio característico de T é -λ^4 + 4λ^2. (b) Para encontrar os autovalores de T, precisamos resolver a equação característica det([T] - λ[I]) = 0. Temos: -λ^4 + 4λ^2 = 0 Fatorando, temos: -λ^2(λ^2 - 4) = 0 Então, os autovalores são λ1 = 0 e λ2 = 2 e λ3 = -2. (c) Para encontrar os autovetores de T, precisamos resolver a equação (T - λI)v = 0, onde v é um autovetor associado a λ. Temos: Para λ1 = 0: (T - λ1I)v = Tv = (y + t, x + z, y + t, x + z) (v1, v2, v3, v4) = (0, 0, 0, 0) Isso nos dá o sistema de equações: y + t = 0 x + z = 0 y + t = 0 x + z = 0 Que pode ser simplificado para: y + t = 0 x + z = 0 Podemos escolher v3 = 1 e v4 = 0, e então obtemos v1 = -1 e v2 = 0. Portanto, um autovetor associado a λ1 = 0 é (-1, 0, 1, 0). Para λ2 = 2: (T - λ2I)v = Tv - 2v = (y + t - 2v1, x + z - 2v2, y + t - 2v3, x + z - 2v4) = (0, 0, 0, 0) Isso nos dá o sistema de equações: y + t - 2v1 = 0 x + z - 2v2 = 0 y + t - 2v3 = 0 x + z - 2v4 = 0 Podemos escolher v1 = 1 e v2 = 0, e então obtemos v3 = 1 e v4 = 0. Portanto, um autovetor associado a λ2 = 2 é (1, 0, 1, 0). Para λ3 = -2: (T - λ3I)v = Tv + 2v = (y + t + 2v1, x + z + 2v2, y + t + 2v3, x + z + 2v4) = (0, 0, 0, 0) Isso nos dá o sistema de equações: y + t + 2v1 = 0 x + z + 2v2 = 0 y + t + 2v3 = 0 x + z + 2v4 = 0 Podemos escolher v1 = 1 e v2 = 0, e então obtemos v3 = -1 e v4 = 0. Portanto, um autovetor associado a λ3 = -2 é (1, 0, -1, 0). (d) Para determinar se T é inversível, precisamos verificar se det(T) é diferente de zero. Temos: det(T) = det([T]) = det([[0, 1, 0, 1], [1, 0, 1, 0], [0, 1, 0, 1], [1, 0, 1, 0]]) = -2 Como det(T) é diferente de zero, T é inversível. (e) Para determinar se T é diagonalizável, precisamos verificar se existem autovetores linearmente independentes suficientes para formar uma base de R4. Como encontramos três autovetores linearmente independentes, podemos concluir que T é diagonalizável. Uma base para a qual [T] é diagonal é dada pelos autovetores: (-1, 0, 1, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, -1, 0)