Considere a função y = f(x) = xe−x2. Determine: (a) o domı́nio de f ; (b) os interceptos; (c) as simetrias de f ; (d) as asśıntotas; (e) interva...

(a) O domínio de f é o conjunto de todos os números reais, pois não há restrições para a variável x na função. (b) Para encontrar os interceptos, basta igualar a função a zero e resolver para x. Temos: f(x) = 0 x * e^(-x^2) = 0 x = 0 Portanto, o único intercepto é o ponto (0,0). (c) A função f(x) é uma função ímpar, pois f(-x) = -f(x). Portanto, a função é simétrica em relação à origem. (d) Não há assíntotas horizontais ou verticais para a função f(x). A função tem uma assíntota oblíqua, que pode ser encontrada usando a regra de L'Hôpital: lim x->+∞ f(x)/x = lim x->+∞ e^(-x^2) = 0 Portanto, a reta y = 0 é uma assíntota oblíqua para a função f(x). (e) Para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento, é necessário encontrar os pontos críticos da função. Temos: f'(x) = e^(-x^2) - 2x^2 * e^(-x^2) = e^(-x^2) (1 - 2x^2) Os pontos críticos são encontrados igualando a derivada a zero: f'(x) = 0 e^(-x^2) (1 - 2x^2) = 0 x = 0 ou x = ±1/√2 Agora, podemos construir a seguinte tabela: x | f'(x) | f(x) --|-------|----- -∞| + | 0+ -1/√2| 0 | máx. 0 | - | 0 1/√2| 0 | máx. +∞| + | 0+ Portanto, a função é crescente nos intervalos (-∞,-1/√2) e (1/√2,+∞) e decrescente no intervalo (-1/√2,1/√2). (f) Para encontrar os valores máximos e mínimos locais, é necessário analisar os pontos críticos encontrados na letra (e) e os limites da função nos extremos do domínio. Temos: f(-∞) = 0+ f(-1/√2) = √(2e)/2 f(0) = 0 f(1/√2) = √(2e)/2 f(+∞) = 0+ Portanto, o valor máximo local é √(2e)/2 e o valor mínimo local é 0. (g) Para discutir a concavidade e encontrar os pontos de inflexão, é necessário encontrar a segunda derivada da função: f''(x) = 4x^3 * e^(-x^2) - 4x * e^(-x^2) = 4x * e^(-x^2) (x^2 - 1) Os pontos de inflexão são encontrados igualando a segunda derivada a zero: f''(x) = 0 4x * e^(-x^2) (x^2 - 1) = 0 x = 0 ou x = ±1 Agora, podemos construir a seguinte tabela: x | f''(x) | concavidade --|--------|----------- -∞| + | convexo -1 | - | côncavo 0 | + | convexo 1 | - | côncavo +∞| + | convexo Portanto, a função é côncava nos intervalos (-∞,-1) e (1,+∞) e convexa no intervalo (-1,1). Os pontos de inflexão são (-1, -1/e), (0,0) e (1,-1/e). (h) Para esboçar o gráfico de f, podemos usar as informações obtidas nas letras anteriores. O gráfico deve ser simétrico em relação à origem, passar pelo ponto (0,0) e ter um valor máximo local em (±1/√2, √(2e)/2). A função tem uma assíntota oblíqua y = 0 e três pontos de inflexão em (-1, -1/e), (0,0) e (1,-1/e). O gráfico deve ser côncavo para baixo nos intervalos (-∞,-1) e (1,+∞) e côncavo para cima no intervalo (-1,1).