Considere a função y = f(x) = x/(x2 + 9). Determine: (a) o domı́nio de f ; (b) os interceptos; (c) as simetrias de f ; (d) as asśıntotas; (e) in...

(a) O domínio de f é o conjunto de todos os valores de x que tornam a função definida. Nesse caso, o denominador não pode ser igual a zero, então x² + 9 ≠ 0. Logo, o domínio é o conjunto de todos os números reais. (b) Para encontrar os interceptos, basta igualar a função a zero e resolver para x. Temos: y = 0: x/(x² + 9) = 0 x = 0 Portanto, o único intercepto é o ponto (0,0). (c) A função f(x) é ímpar, pois f(-x) = -f(x). Portanto, a função é simétrica em relação à origem. (d) Para encontrar as assíntotas, precisamos analisar o comportamento da função quando x se aproxima de infinito ou menos infinito. Temos: lim x → ±∞ f(x) = lim x → ±∞ x/(x² + 9) = 0 Portanto, a reta y = 0 é uma assíntota horizontal. Além disso, podemos encontrar as assíntotas verticais analisando os valores que fazem o denominador da função igual a zero. Temos: x² + 9 = 0 x = ±3i Portanto, não há assíntotas verticais. (e) Para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento, precisamos analisar a derivada da função. Temos: f(x) = x/(x² + 9) f'(x) = (x² + 9 - 2x²)/(x² + 9)² f'(x) = (9 - x²)/(x² + 9)² A derivada é igual a zero quando 9 - x² = 0, ou seja, quando x = ±3. Podemos usar o teste da primeira derivada para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento: f'(x) > 0 para x < -3 e x > 3 f'(x) < 0 para -3 < x < 3 Portanto, a função é crescente nos intervalos (-∞,-3) e (3,∞) e decrescente no intervalo (-3,3). (f) Para encontrar os valores máximos e mínimos locais, precisamos analisar os pontos críticos da função. Já encontramos que os pontos críticos são x = ±3. Podemos usar o teste da segunda derivada para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos locais: f''(x) = (18x)/(x² + 9)³ f''(-3) < 0, portanto x = -3 é um máximo local. f''(3) > 0, portanto x = 3 é um mínimo local. Os valores máximos e mínimos locais são f(-3) = 3/18 e f(3) = -3/18, respectivamente. (g) Para discutir a concavidade e encontrar os pontos de inflexão, precisamos analisar a segunda derivada da função. Já encontramos que f''(x) = (18x)/(x² + 9)³. A segunda derivada é igual a zero quando x = 0, mas esse ponto não é um ponto de inflexão, pois a função não muda de concavidade nesse ponto. Podemos usar o teste da segunda derivada para determinar os intervalos de concavidade: f''(x) > 0 para x < -3 e -3 < x < 0 f''(x) < 0 para 0 < x < 3 e x > 3 Portanto, a função é côncava para baixo nos intervalos (-∞,-3) e (0,3) e côncava para cima no intervalo (-3,0) e (3,∞). O ponto de inflexão é (0,0). (h) Para esboçar o gráfico de f, podemos usar as informações que encontramos até agora. O gráfico deve ser simétrico em relação à origem, passar pelo ponto (0,0) e ter uma assíntota horizontal em y = 0. Além disso, a função é crescente nos intervalos (-∞,-3) e (3,∞) e decrescente no intervalo (-3,3). A função tem um máximo local em (-3,3/18) e um mínimo local em (3,-3/18). A função é côncava para baixo nos intervalos (-∞,-3) e (0,3) e côncava para cima no intervalo (-3,0) e (3,∞). O ponto de inflexão é (0,0).