Considere uma função f tal que |f(x)−Ax| 6 e−x, para algum número A ∈ R fixado. Calcule lim x→+∞ f(x) − f(1) x − 1 . Calcule lim x→+∞ f(x) − ...

Para calcular o limite de f(x) - f(1) / x - 1 quando x tende a infinito, podemos usar a regra de L'Hôpital. Começando com o primeiro limite, temos: lim x→+∞ (f(x) - f(1)) / (x - 1) = lim x→+∞ (f'(x)) / 1 Usando a definição de f(x), temos: |f(x) - Ax| ≤ e^(-x) Isso implica que: -f(x) + Ax ≤ e^(-x) f(x) - Ax ≤ e^(-x) Somando as duas desigualdades, temos: |f(x) - Ax| ≤ 2e^(-x) Tomando o limite quando x tende a infinito, temos: lim x→+∞ |f(x) - Ax| ≤ lim x→+∞ 2e^(-x) = 0 Isso implica que: lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ Ax = A Portanto, f(x) - f(1) tende a A - A = 0 quando x tende a infinito. Agora, para o segundo limite, temos: lim x→+∞ (f(x) - f(1)) / ln(x) = lim x→+∞ (f'(x)) / (1/x) = lim x→+∞ xf'(x) Novamente, usando a definição de f(x), temos: |f(x) - Ax| ≤ e^(-x) Diferenciando ambos os lados em relação a x, temos: -f'(x) + A ≤ e^(-x) f'(x) - A ≤ e^(-x) Somando as duas desigualdades, temos: |f'(x) - A| ≤ 2e^(-x) Multiplicando ambos os lados por x, temos: |x(f'(x) - A)| ≤ 2xe^(-x) Tomando o limite quando x tende a infinito, temos: lim x→+∞ |x(f'(x) - A)| ≤ lim x→+∞ 2xe^(-x) = 0 Isso implica que: lim x→+∞ xf'(x) = lim x→+∞ xA = +∞ Portanto, o segundo limite é infinito quando x tende a infinito.